Professor: Gabriel Soares Baptista
Usaremos novamente o apêndice Tabela da Transformada de Fourier.
Antes de calcular, vale classificar o problema:
| Situação | Estratégia |
|---|---|
| sinal já está no apêndice | usar a regra diretamente |
| soma de blocos conhecidos | aplicar P1 |
| atraso ou escalamento | aplicar P4 ou P3 |
| forma diferente, mas reescrevível | manipular antes |
| nada disso funciona bem | considerar a definição |
| Regra | $x(t)$ | $X(\omega)$ |
|---|---|---|
| 1 | $\delta(t)$ | $1$ |
| 2 | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ |
| 5a | $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$ |
| 6 | $e^{-at}u(t)$ | $\dfrac{1}{a+j\omega}$ |
| 7 | $e^{at}u(-t)$ | $\dfrac{1}{a-j\omega}$ |
| 8 | $e^{-a|t|}$ | $\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$ |
| 9 | $\operatorname{ret}(t/\tau)$ | $\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2)$ |
| 11 | $\dfrac{\sin(Wt)}{\pi t}$ | $\operatorname{ret}(\omega/2W)$ |
| 12 | $\dfrac{W}{\pi}\operatorname{sinc}(Wt)$ | $\operatorname{ret}(\omega/2W)$ |
| Propriedade | Operação no tempo | Resultado em frequência |
|---|---|---|
| P1 | $a_1x_1(t)+a_2x_2(t)$ | $a_1X_1(\omega)+a_2X_2(\omega)$ |
| P3 | $x(at)$ | $\dfrac{1}{|a|}X(\omega/a)$ |
| P4 | $x(t-t_0)$ | $e^{-j\omega t_0}X(\omega)$ |
| P13 | se $x(t)\iff X(\omega)$ | então $X(t)\iff 2\pi x(-\omega)$ |
Antes de resolver, vale prever o tipo de espectro esperado:
| Tipo de sinal no tempo | O que esperar em frequência |
|---|---|
| real | $X(-\omega)=X^*(\omega)$ |
| real e par | espectro real e par |
| real e ímpar | espectro imaginário puro e ímpar |
Qual a melhor estratégia para $x(t)=e^{-a|t|}$?
Ideia central: não começar pela integral.
Reescrita útil:
$$ e^{-a|t|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t) $$
Sem calcular tudo, o que já sabemos sobre o espectro de $e^{-a|t|}$?
Determine a transformada de Fourier de $x(t)=\cos(\omega_0 t)$.
1. Reescrita:
$$ \cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}e^{j\omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j\omega_0 t} $$
2. Tabela + linearidade: regras 3 e 4 com P1
$$ \boxed{\cos(\omega_0 t)\iff \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]} $$
Determine a transformada de Fourier de
$$ x(t)=3e^{-at}u(t)-2e^{at}u(-t), \quad a>0 $$
1. Reconhecimento dos blocos: regras 6 e 7
$$ e^{-at}u(t)\iff \frac{1}{a+j\omega} \qquad e^{at}u(-t)\iff \frac{1}{a-j\omega} $$
2. Linearidade:
$$ X(\omega)=3\left(\frac{1}{a+j\omega}\right)-2\left(\frac{1}{a-j\omega}\right) $$
3. Forma simplificada:
$$ \boxed{X(\omega)=\frac{a-5j\omega}{a^2+\omega^2}} $$
Determine a transformada de Fourier de
$$ x(t)=\operatorname{ret}((t-t_0)/\tau) $$
1. Sinal-base: regra 9
$$ \operatorname{ret}(t/\tau)\iff \tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2) $$
2. Atraso temporal: P4
$$ \boxed{\operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)\iff e^{-j\omega t_0}\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2)} $$
Use dualidade a partir de
$$ \frac{\sin(Wt)}{\pi t}\iff \operatorname{ret}(\omega/2W) $$
Aplicando P13:
$$ \operatorname{ret}(t/2W)\iff 2\pi\frac{\sin(W\omega)}{\pi\omega} $$
1. Explique a diferença conceitual entre espectro discreto e espectro contínuo.
2. Quando Fourier pode ser obtida de Laplace fazendo $s=j\omega$?
3. Complete a tabela abaixo.
| Operação no tempo | Efeito em frequência |
|---|---|
| $a_1x_1(t)+a_2x_2(t)$ | |
| $x(at)$ | |
| $x(t-t_0)$ | |
| se $x(t)\iff X(\omega)$ |
4. O que você espera para o espectro de um sinal real e par?
5. Determine a transformada de Fourier de $\cos(\omega_0 t)$ usando a tabela.
6. Reescreva $e^{-a|t|}$ para usar diretamente a tabela.
7. Determine a transformada de Fourier de $3e^{-at}u(t)-2e^{at}u(-t)$.
8. Determine a transformada de Fourier de $\operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)$.
9. Um atraso temporal desloca o módulo do espectro em frequência? Justifique.
10. Determine a transformada de Fourier de $\operatorname{ret}(t/4)$ e diga como muda para $x(2t)$.
11. Determine a transformada de Fourier de $e^{-a|t|}+e^{-at}u(t)$.
12. Explique como a dualidade permite gerar um novo par sem refazer a integral.
13. Para cada sinal abaixo, indique o melhor primeiro passo:
14. Complete a tabela abaixo.
| Situação no tempo | Expectativa em frequência |
|---|---|
| sinal real | |
| sinal real e par | |
| sinal real e ímpar |
15. Determine a transformada de Fourier de $e^{-a|t|}+\operatorname{ret}(t/2)$.
16. Como uma checagem qualitativa pode mostrar rapidamente que uma resposta está errada?
17. Marque V ou F sobre paridade, escalamento, dualidade e atraso temporal.