Convenção Adotada0.1
Nesta disciplina, utilizaremos o seguinte par de Fourier:
$$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt $$
$$ x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega $$
Também adotaremos a definição
$$ \operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} $$
com $\operatorname{sinc}(0)=1$ por continuidade.
Pares Básicos0.2
| Nº | $x(t)$ | $X(\omega)$ | Observação |
|---|---|---|---|
| 1 | $\delta(t)$ | $1$ | impulso no tempo |
| 2 | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ | componente contínua |
| 3 | $e^{j\omega_0 t}$ | $2\pi\delta(\omega-\omega_0)$ | exponencial complexa |
| 4 | $e^{-j\omega_0 t}$ | $2\pi\delta(\omega+\omega_0)$ | exponencial complexa |
| 5a | $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$ | duas linhas espectrais |
| 5b | $\sin(\omega_0 t)$ | $\dfrac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$ | função ímpar |
Pares Úteis de Sinais de Energia0.3
| Nº | $x(t)$ | $X(\omega)$ | Observação |
|---|---|---|---|
| 6 | $e^{-at}u(t)$, $a>0$ | $\dfrac{1}{a+j\omega}$ | obtido diretamente da definição |
| 7 | $e^{at}u(-t)$, $a>0$ | $\dfrac{1}{a-j\omega}$ | dual causal à esquerda |
| 8 | $e^{-a\lvert t \rvert}$, $a>0$ | $\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$ | útil em exemplos de simetria |
| 9 | $\operatorname{ret}(t/\tau)$ | $\tau\,\operatorname{sinc}(\omega\tau/2)$ | pulso retangular |
| 10 | $\Delta(t/\tau)$ | $\dfrac{\tau}{2}\,\operatorname{sinc}^2(\omega\tau/4)$ | pulso triangular |
| 11 | $\dfrac{\sin(Wt)}{\pi t}$ | $\operatorname{ret}(\omega/2W)$ | par clássico por dualidade |
| 12 | $\dfrac{W}{\pi}\operatorname{sinc}(Wt)$ | $\operatorname{ret}(\omega/2W)$ | mesma ideia com a nossa definição de sinc |
Propriedades Operacionais0.4
| Nº | Operação no tempo | Resultado na frequência |
|---|---|---|
| P1 | $a_1x_1(t)+a_2x_2(t)$ | $a_1X_1(\omega)+a_2X_2(\omega)$ |
| P2 | $x^*(t)$ | $X^*(-\omega)$ |
| P3 | $x(at)$ | $\dfrac{1}{\lvert a \rvert}X(\omega/a)$ |
| P4 | $x(t-t_0)$ | $e^{-j\omega t_0}X(\omega)$ |
| P5 | $e^{j\omega_0 t}x(t)$ | $X(\omega-\omega_0)$ |
| P6 | $e^{-j\omega_0 t}x(t)$ | $X(\omega+\omega_0)$ |
| P7 | $x(t)\cos(\omega_0 t)$ | $\dfrac{1}{2}[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)]$ |
| P8 | $x(t)\sin(\omega_0 t)$ | $\dfrac{1}{2j}[X(\omega-\omega_0)-X(\omega+\omega_0)]$ |
| P9 | $\dfrac{dx(t)}{dt}$ | $j\omega X(\omega)$ |
| P10 | $t\,x(t)$ | $j\dfrac{dX(\omega)}{d\omega}$ |
| P11 | $x_1(t)*x_2(t)$ | $X_1(\omega)X_2(\omega)$ |
| P12 | $x_1(t)x_2(t)$ | $\dfrac{1}{2\pi}X_1(\omega)*X_2(\omega)$ |
| P13 | Se $x(t) \leftrightarrow X(\omega)$ | então $X(t) \leftrightarrow 2\pi x(-\omega)$ |
Simetrias Importantes0.5
Se $x(t)$ for real, então:
$$ X(-\omega)=X^*(\omega) $$
Daí seguem duas consequências muito úteis:
- $\lvert X(\omega) \rvert$ é uma função par.
- $\angle X(\omega)$ é uma função ímpar.
Além disso:
- se $x(t)$ é real e par, então $X(\omega)$ é real e par;
- se $x(t)$ é real e ímpar, então $X(\omega)$ é imaginária pura e ímpar.