Transformada de Fourier Contínua
Introdução, Tabela e Propriedades
Professor: Gabriel Soares Baptista
Introdução
- Até aqui, estudamos sinais no domínio do tempo e no domínio complexo com a Transformada de Laplace.
- Agora, o foco passa a ser a descrição de um sinal por suas componentes espectrais.
- A Transformada de Fourier contínua aparece como continuação natural da série de Fourier e da própria Laplace.
- Na prática, após entender a definição e algumas derivações, resolveremos problemas principalmente por tabela e propriedades.
Ao longo desta aula e da próxima, usaremos como referência o apêndice Tabela da Transformada de Fourier.
A Transformada de Fourier
Para um sinal $x(t)$, definimos:
$$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt $$
E a transformada inversa:
$$ x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega $$
Notação compacta:
$$ x(t) \iff X(\omega) $$
- $X(\omega)$ informa quanto de cada frequência angular $\omega$ está presente em $x(t)$.
Amplitude e Fase
Como $X(\omega)$ em geral é complexo:
$$ X(\omega) = |X(\omega)|e^{j\angle X(\omega)} $$
Analisamos separadamente:
espectro de amplitude $|X(\omega)|$
espectro de fase $\angle X(\omega)$
Essa separação será essencial para entender atraso, modulação e filtragem.
Da Série Para a Integral
- Na série de Fourier, um sinal periódico é escrito como soma de exponenciais em frequências discretas.
- Quando o período cresce indefinidamente, o espaçamento entre frequências tende a zero.
- Nesse limite, a soma vira integral e surge a transformada de Fourier de sinais não periódicos.
Em resumo:
- série de Fourier $\rightarrow$ espectro discreto
- transformada de Fourier $\rightarrow$ espectro contínuo
Em espectro contínuo, o importante não é a amplitude de uma linha isolada, mas a densidade espectral em torno de cada frequência.
Existência da Transformada
Nem todo sinal possui transformada no sentido usual. Um critério suficiente útil é:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|\,dt < \infty $$
- Esse critério garante a convergência da integral direta para muitos sinais físicos.
- Ele não é o caso mais geral possível.
- Há sinais importantes, como o degrau unitário, que exigem mais cuidado conceitual.
Nesta aula, a ênfase será em dois pontos:
- entender o significado da definição
- migrar rapidamente para o uso prático de tabela e propriedades
Fourier e Laplace
Na transformada de Laplace bilateral:
$$ X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}\,dt $$
Se fizermos $s = j\omega$:
$$ X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt $$
- Formalmente, isso tem a forma da transformada de Fourier.
- A ideia operacional é:
$$ \text{Fourier} \subset \text{Laplace} $$
A substituição $s=j\omega$ só funciona quando o eixo imaginário pertence à região de convergência da transformada de Laplace.
Leitura Operacional da Relação
- Laplace trabalha com uma classe mais ampla de sinais.
- Fourier é mais restrita, mas oferece leitura espectral mais direta.
- Se a RDC inclui o eixo imaginário, a passagem de Laplace para Fourier é natural.
- Se isso não ocorre, a conexão não pode ser usada como simples substituição algébrica.
Em particular:
- para $e^{-at}u(t)$ com $a>0$, a substituição funciona bem
- para sinais como $u(t)$, a situação é mais sutil
Exemplo 1
Determine a transformada de Fourier de:
$$ x(t)=e^{-at}u(t), \quad a>0 $$
Montagem:
$$ X(\omega)=\int_0^{\infty} e^{-at}e^{-j\omega t}\,dt =\int_0^{\infty} e^{-(a+j\omega)t}\,dt $$
Integração:
$$ X(\omega)=\left[-\frac{1}{a+j\omega}e^{-(a+j\omega)t}\right]_0^{\infty} =\frac{1}{a+j\omega} $$
Resultado:
$$ \boxed{e^{-at}u(t) \iff \frac{1}{a+j\omega}, \quad a>0} $$
Exemplo 2
Determine a transformada de Fourier de $\delta(t)$.
Pela propriedade de amostragem:
$$ X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}\,dt =e^{-j\omega\cdot 0}=1 $$
Logo:
$$ \boxed{\delta(t) \iff 1} $$
- Um impulso no tempo possui espectro constante em todas as frequências.
Estratégia Prática
Depois dos exemplos fundamentais, a estratégia passa a ser:
- usar a tabela de Fourier
- aplicar propriedades operacionais
Antes de integrar, verifique se o sinal já está na tabela, se pode ser decomposto, deslocado, escalado, modulado ou tratado por dualidade.
Pares Mais Usados
| $x(t)$ | $X(\omega)$ |
|---|---|
| $\delta(t)$ | $1$ |
| $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ |
| $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$ |
| $e^{-at}u(t)$ | $\dfrac{1}{a+j\omega}$ |
| $e^{-a|t|}$ | $\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$ |
| $\operatorname{ret}(t/\tau)$ | $\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2)$ |
| $\Delta(t/\tau)$ | $\dfrac{\tau}{2}\operatorname{sinc}^2(\omega\tau/4)$ |
Propriedades Mais Usadas
| Operação no tempo | Resultado na frequência |
|---|---|
| $a_1x_1(t)+a_2x_2(t)$ | $a_1X_1(\omega)+a_2X_2(\omega)$ |
| $x(at)$ | $\dfrac{1}{|a|}X(\omega/a)$ |
| $x(t-t_0)$ | $e^{-j\omega t_0}X(\omega)$ |
| $e^{j\omega_0 t}x(t)$ | $X(\omega-\omega_0)$ |
| $x(t)\cos(\omega_0 t)$ | $\dfrac{1}{2}[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)]$ |
| dualidade | $X(t) \iff 2\pi x(-\omega)$ |
- A ideia não é decorar respostas prontas.
- O objetivo é reconhecer um sinal básico e transformá-lo com propriedades.
Linearidade
Se:
$$ x_1(t) \iff X_1(\omega) \quad \text{e} \quad x_2(t) \iff X_2(\omega) $$
Então:
$$ a_1x_1(t)+a_2x_2(t) \iff a_1X_1(\omega)+a_2X_2(\omega) $$
- Esta será uma das propriedades mais usadas na passagem de senos e cossenos para impulsos em frequência.
Dualidade
Se:
$$ x(t) \iff X(\omega) $$
Então:
$$ X(t) \iff 2\pi x(-\omega) $$
- A dualidade gera novos pares sem recalcular integrais.
- Tempo e frequência trocam de papel, com ajuste do fator $2\pi$ e inversão de sinal.
Escalamento
Se $x(t) \iff X(\omega)$, então:
$$ x(at) \iff \frac{1}{|a|}X(\omega/a) $$
Leitura física:
- compressão no tempo $\rightarrow$ expansão no espectro
- alargamento no tempo $\rightarrow$ compressão no espectro
Deslocamento no Tempo
Se $x(t) \iff X(\omega)$, então:
$$ x(t-t_0) \iff e^{-j\omega t_0}X(\omega) $$
Observe:
o espectro de amplitude não muda
a fase ganha um termo linear em $\omega$
Um mesmo atraso temporal exige deslocamentos de fase maiores para frequências mais altas.
Deslocamento na Frequência
Se $x(t) \iff X(\omega)$, então:
$$ e^{j\omega_0 t}x(t) \iff X(\omega-\omega_0) $$
- Multiplicar por exponencial complexa não muda a forma do espectro.
- O efeito é apenas transladar o espectro ao longo do eixo de frequências.
- Essa é a base matemática da modulação em amplitude.
Modulação por Cosseno
Como:
$$ \cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}) $$
Temos:
$$ x(t)\cos(\omega_0 t) \iff \frac{1}{2}[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)] $$
- Multiplicar por cosseno desloca o espectro para a direita e para a esquerda.
Exemplo 3
Determine a transformada de Fourier de:
$$ x(t)=\cos(\omega_0 t) $$
Pela identidade de Euler:
$$ \cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}e^{j\omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j\omega_0 t} $$
Aplicando linearidade e tabela:
$$ X(\omega)=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\delta(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}\cdot 2\pi\delta(\omega+\omega_0) $$
$$ \boxed{\cos(\omega_0 t) \iff \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]} $$
Exemplo 4
Determine a transformada de Fourier de:
$$ x(t)=e^{-a|t|}, \quad a>0 $$
Reescrevendo:
$$ e^{-a|t|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t) $$
Pela tabela:
$$ e^{-at}u(t) \iff \frac{1}{a+j\omega} \quad \text{e} \quad e^{at}u(-t) \iff \frac{1}{a-j\omega} $$
Logo:
$$ X(\omega)=\frac{1}{a+j\omega}+\frac{1}{a-j\omega} =\frac{2a}{a^2+\omega^2} $$
$$ \boxed{e^{-a|t|} \iff \frac{2a}{a^2+\omega^2}} $$
- Como $x(t)$ é real e par, o espectro também é real e par.
Exemplo 5
Determine a transformada de Fourier do sinal modulado:
$$ y(t)=\operatorname{ret}(t/4)\cos(10t) $$
Transformada do sinal-base:
$$ \operatorname{ret}(t/4) \iff 4\operatorname{sinc}(2\omega) $$
Se $X(\omega)=4\operatorname{sinc}(2\omega)$, então pela modulação por cosseno:
$$ Y(\omega)=\frac{1}{2}[X(\omega-10)+X(\omega+10)] $$
Substituindo:
$$ Y(\omega)=2\operatorname{sinc}(2\omega-20)+2\operatorname{sinc}(2\omega+20) $$
Interpretação:
- o espectro passa-baixas do pulso gera duas cópias
- uma centrada em $+10$ rad/s
- outra centrada em $-10$ rad/s
$$ \boxed{Y(\omega)=2\operatorname{sinc}(2\omega-20)+2\operatorname{sinc}(2\omega+20)} $$
Próximos Passos
- Na próxima aula, essa propriedade de deslocamento espectral será aplicada diretamente em modulação em amplitude.