Sistemas Digitais e Microprocessados
Minimização Visual com Mapa de Karnaugh
Professor: Gabriel Soares Baptista
Introdução
Hoje veremos como simplificar uma função booleana olhando a estrutura do problema no Mapa de Karnaugh.
Ele não muda a função.
Ele apenas reorganiza a tabela-verdade para tornar visíveis os agrupamentos que eliminam variáveis.
Células vizinhas diferem por apenas uma variável. Isso permite agrupar termos equivalentes e cancelar o que muda dentro do grupo.
Da Tabela ao Mapa
Considere a tabela-verdade:
$$
\begin{array}{c|c|c||c}
A & B & C & F \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
$$
Da Tabela ao Mapa
Da mesma tabela, obtemos duas leituras equivalentes:
SOP
$$
F = \Sigma m(1,2,5,6)
$$
$$
F = \bar{A}\bar{B}C + \bar{A}B\bar{C} + A\bar{B}C + AB\bar{C}
$$
POS
$$
F = \Pi M(0,3,4,7)
$$
$$
F = (A + B + C)(A + B + \bar{C})(A + \bar{B} + C)(A + \bar{B} + \bar{C})
$$
O mapa apenas reorganiza esses mesmos casos em uma grade com adjacência lógica.
Como Ler o Mapa
Para 3 variáveis, uma disposição comum é usar $A$ nas linhas e $BC$ nas colunas em ordem Gray $00, 01, 11, 10$.
Não existe agrupamento diagonal. Diagonal muda duas variáveis ao mesmo tempo.
Regras de Agrupamento
- agrupe apenas em potências de 2
- prefira o maior grupo possível
- o mapa dá a volta nas bordas
- em SOP, leia grupos de $1$
- em POS, leia grupos de $0$
- a variável que muda desaparece
- sobreposição pode ser útil
Exemplo 1: Bloco Central em SOP
Questão
Considere:
$$
F = \Sigma m(1,3,5,7)
$$
O grupo tem 4 células. Vamos olhar o que fica fixo.
- $A$ muda entre as linhas, então sai.
- $B$ muda entre as colunas, então sai.
- $C$ permanece em $1$, então fica.
Exemplo 1: Circuito Original e Reduzido
Forma canônica original
$$
F = \bar{A}\bar{B}C + \bar{A}BC + A\bar{B}C + ABC
$$
Forma reduzida
Exemplo 2: Agrupamento pelas Quinas
Questão
Considere:
$$
H = \Sigma m(0,2,8,10)
$$
As quatro quinas parecem separadas, mas pertencem ao mesmo grupo porque o mapa se conecta pelas bordas.
- $B$ permanece em $0$
- $D$ permanece em $0$
- $A$ varia
- $C$ varia
Então,
$$
H = \bar{B}\bar{D}
$$
Exemplo 2: Leitura no Circuito
O mapa não é uma grade plana sem continuidade. Bordas opostas são vizinhas logicamente.
Exemplo 3: Cobertura sem Compartilhamento
Questão
Considere:
$$
G = \Sigma m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)
$$
Uma cobertura correta é usar um grupo de 8 e outro de 4.
Isso produz:
$$
G_{sem} = \bar{B} + \bar{A}B
$$
Exemplo 3: Cobertura com Compartilhamento
Com sobreposição, podemos formar dois grupos de 8.
- primeiro grupo: $G_1 = \bar{A}$
- segundo grupo: $G_2 = \bar{B}$
Logo,
$$
G = \bar{A} + \bar{B}
$$
Exemplo 3: Circuitos Comparados
Sem compartilhamento
Com compartilhamento
POS: Lendo os Zeros
Na POS, a mecânica é a mesma, mas agora agrupamos os $0$s.
Regra de leitura:
- variável fixa em $0$ entra direta
- variável fixa em $1$ entra negada
- variável que muda desaparece
Exemplo 4: POS a Partir dos Zeros
Questão
Considere:
$$
F = \Pi M(1,3,5,7)
$$
Nesse grupo, $C$ permanece em $1$.
Como estamos em POS, variável fixa em $1$ entra negada.
Portanto,
$$
F = \bar{C}
$$
Exemplo 4: POS Canônica e Forma Reduzida
Forma canônica POS
$$
F = (A + B + \bar{C})(A + \bar{B} + \bar{C})(\bar{A} + B + \bar{C})(\bar{A} + \bar{B} + \bar{C})
$$
Forma reduzida
Exemplo 5: POS com Três Grupos
Questão
Considere:
$$
J = \Pi M(0,1,4,5,6,7,10,11,13,14,15)
$$
Os zeros são cobertos por três grupos.
- $J_1 = A + C$
- $J_2 = \bar{B} + \bar{D}$
- $J_3 = \bar{A} + \bar{C}$
Logo,
$$
J = (A + C)(\bar{B} + \bar{D})(\bar{A} + \bar{C})
$$
Exemplo 5: Circuito Reduzido
Don't Care
Estados don't care representam entradas que não serão usadas na prática.
Eles podem ser tratados como $0$ ou $1$ se isso ajudar a ampliar os grupos.
- podem participar de um grupo
- não precisam ser cobertos
- só devem ser usados se simplificarem a expressão
Exemplo 6: SOP sem Aproveitar os Don't Cares
Questão
Considere:
$$
Q = \Sigma m(8,9) + d(10,11,12,13,14,15)
$$
Ignorando os don't cares, só conseguimos formar um grupo de 2.
- $A$ permanece em $1$
- $B$ permanece em $0$
- $C$ permanece em $0$
- $D$ varia
Então,
$$
Q_{sem} = A\bar{B}\bar{C}
$$
Exemplo 6: SOP com Don't Cares
Usando os don't cares, o grupo cresce de 2 para 8 células.
Agora só $A$ permanece fixo.
Desafio Final: Quatro Grupos em SOP
Questão
Considere:
$$
T = \Sigma m(0,1,3,4,5,6,9,10,11,12,14,15)
$$
Aqui a cobertura mínima exige quatro grupos.
- $T_1 = \bar{A}\bar{C}$
- $T_2 = \bar{B}D$
- $T_3 = AC$
- $T_4 = B\bar{D}$
Portanto,
$$
T = \bar{A}\bar{C} + \bar{B}D + AC + B\bar{D}
$$
Desafio Final: Circuitos Comparados
Circuito original
Circuito reduzido
Fechamento
O Mapa de Karnaugh não substitui a tabela-verdade.
Ele a reorganiza para que a simplificação fique visível.
Se você lembrar destas três perguntas, a leitura costuma ficar segura:
- estamos lendo 1s ou 0s?
- quais variáveis permanecem fixas?
- quais variáveis mudam e, por isso, desaparecem?
Próximos passos
Na próxima aula, 12 - digital arithmetic i, vamos projetar somadores e subtratores a partir de tabelas-verdade e expressões minimizadas.