Professor: Gabriel Soares Baptista
Minimizar uma expressão booleana é reduzir o que está sobrando sem alterar a tabela-verdade.
O circuito continua equivalente, mas usa menos portas, repete menos lógica e tende a ser mais fácil de ler e implementar.
Antes de seguir, vale lembrar três ideias da aula anterior: tabela-verdade, SOP e POS.
Minimizar não é mudar a função.
É retirar redundâncias que não alteram nenhuma linha da tabela-verdade.
Se duas expressões produzem a mesma saída para todas as combinações de entrada, a forma menor costuma ser a melhor escolha.
Uma forma menor não é só uma conta mais elegante.
Ela costuma significar menos portas, menos duplicação de lógica e um circuito mais direto de interpretar.
Sempre pergunte: o que aqui ainda muda alguma linha da tabela-verdade?
Considere a função $S$ abaixo.
$$ \begin{array}{c|c||c} A & B & S \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} $$
Da tabela, obtemos duas formas canônicas equivalentes:
As duas expressões descrevem a mesma função.
Uma reúne os casos em que a saída vale 1; a outra, os casos em que a saída vale 0.
SOP canônica
POS canônica
Com minimização, chegamos à forma reduzida:
Forma minimizada
Leitura final
Quando $A=1$, o valor de $B$ deixa de importar.
Se a SOP e a POS já descrevem a mesma tabela, o que a minimização precisa preservar e o que ela pode eliminar?
As primeiras regras de simplificação funcionam como uma limpeza inicial.
Elas eliminam o que nunca ajuda, o que já está garantido e o que está apenas repetido.
| Comportamento | Expressão | Significado prático |
|---|---|---|
| Identidade | $A \cdot 1 = A$ $A + 0 = A$ |
O sinal passa sem alteração. |
| Nulidade | $A \cdot 0 = 0$ $A + 1 = 1$ |
A constante domina a saída. |
| Regra | Expressão | Significado prático |
|---|---|---|
| Idempotência | $A + A = A$ $A \cdot A = A$ |
Repetir a mesma informação não cria uma condição nova. |
| Complemento OR | $A + \bar{A} = 1$ | Um sinal ou seu oposto cobrem todos os casos. |
| Complemento AND | $A \cdot \bar{A} = 0$ | Um sinal e seu oposto nunca valem 1 ao mesmo tempo. |
Sempre que você simplificar, pergunte se essa parte ainda muda alguma linha da tabela-verdade.
Simplifique a expressão: $S = AB + AB$
$$ \begin{split} S &= AB + AB \\ S &= AB \quad \text{(idempotência)} \end{split} $$
Leitura: o segundo termo não acrescenta nenhuma linha nova à tabela-verdade.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = A\bar{A} + B $$
$$ \begin{split} S &= A\bar{A} + B \\ S &= 0 + B \quad \text{(complemento)} \\ S &= B \quad \text{(identidade)} \end{split} $$
Leitura: ele ocupa espaço algébrico, mas não ocupa espaço lógico.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = 1 \cdot (A + B) + 0 \cdot C $$
$$ \begin{split} S &= 1 \cdot (A + B) + 0 \cdot C \\ S &= (A + B) + 0 \\ S &= A + B \end{split} $$
Leitura: o 1 preserva o bloco da esquerda; o 0 elimina o da direita.
Quando dois termos compartilham parte da estrutura, a fatoração revela o que está repetido.
Ela permite destacar o bloco estável da expressão e eliminar a variável que só muda dentro do grupo.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = ABC + AB\bar{C} $$
$$ \begin{split} S &= ABC + AB\bar{C} \\ S &= AB(C + \bar{C}) \quad \text{(fatoração)} \\ S &= AB \cdot 1 \quad \text{(complemento)} \\ S &= AB \end{split} $$
Circuito original
Circuito reduzido
Leitura: o valor de $C$ era só a diferença interna entre os dois termos.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = ABD + \bar{A}BD $$
$$ \begin{split} S &= ABD + \bar{A}BD \\ S &= (A + \bar{A})BD \quad \text{(fatoração)} \\ S &= 1 \cdot BD \quad \text{(complemento)} \\ S &= BD \end{split} $$
Leitura: o raciocínio é o mesmo; só muda a variável que alterna entre normal e negada.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = ABCD + ABC\bar{D} + AB\bar{C}D + AB\bar{C}\bar{D} $$
$$ \begin{split} S &= ABC(D + \bar{D}) + AB\bar{C}(D + \bar{D}) \\ S &= ABC \cdot 1 + AB\bar{C} \cdot 1 \\ S &= ABC + AB\bar{C} \\ S &= AB(C + \bar{C}) \\ S &= AB \end{split} $$
Leitura: a simplificação acontece em duas ondas, uma por vez.
Depois que agrupamos fatores comuns, vale perguntar se algum termo passou a ser desnecessário.
Absorção acontece quando um termo menor já garante tudo o que o termo maior tentaria cobrir.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = A + AB $$
$$ \begin{split} S &= A + AB \\ S &= A(1 + B) \\ S &= A \end{split} $$
$$ \begin{array}{c|c|c|c} A & B & A + AB & AB \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $$
Antes da absorção
Depois da absorção
Leitura: o termo maior não cria nenhuma linha nova de saída 1.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = AB + ABC + ABD $$
$$ \begin{split} S &= AB + ABC + ABD \\ S &= AB + ABD \quad \text{(absorção)} \\ S &= AB \quad \text{(absorção novamente)} \end{split} $$
Leitura: depois que $AB$ aparece, qualquer termo que dependa totalmente dele perde utilidade.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = A\bar{B} + AB + BCD $$
$$ \begin{split} S &= A\bar{B} + AB + BCD \\ S &= A(\bar{B} + B) + BCD \\ S &= A \cdot 1 + BCD \\ S &= A + BCD \end{split} $$
Leitura: às vezes a estrutura final só aparece depois de limpar o bloco principal.
Quando a barra cobre um grupo inteiro, a operação interna troca:
O erro mais comum é mover a barra sem trocar a operação. Isso está errado.
Pense em DeMorgan como uma reorganização da expressão, não como um truque isolado.
Comparação de saída
$$ \begin{array}{c|c|c} A & B & \overline{AB} \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} $$
Forma equivalente
$$ \begin{array}{c|c|c} A & B & \bar{A} + \bar{B} \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} $$
Circuito negado
Circuito equivalente
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = \overline{\bar{A} + B} $$
$$ \begin{split} S &= \overline{\bar{A} + B} \\ S &= \overline{\bar{A}} \cdot \bar{B} \quad \text{(DeMorgan)} \\ S &= A\bar{B} \end{split} $$
Leitura: a negação externa abre a expressão e costuma deixar a expressão pronta para o próximo passo.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = \overline{(A + B)(\bar{A} + C)} $$
$$ \begin{split} S &= \overline{A + B} + \overline{\bar{A} + C} \\ S &= \bar{A}\bar{B} + A\bar{C} \end{split} $$
Leitura: DeMorgan reorganiza a estrutura; depois ainda vale perguntar se existe fatoração ou absorção.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = \overline{A + B}(C + D) + \overline{A + B}E $$
$$ \begin{split} S &= \overline{A + B}(C + D) + \overline{A + B}E \\ S &= \overline{A + B}((C + D) + E) \\ S &= \overline{A + B}(C + D + E) \\ S &= \bar{A}\bar{B}(C + D + E) \end{split} $$
Leitura: primeiro abrimos a estrutura, depois reorganizamos o que sobrou.
Quando a expressão ficar grande, vale seguir uma rotina fixa.
Sem método, tendemos a testar regras ao acaso e a nos perder no meio da conta.
Um bom sinal de progresso é a expressão ficar menor a cada passo, com cada etapa apoiada em uma ideia simples.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = ABC + AB\bar{C} + AD + ADE $$
$$ \begin{split} S &= AB(C + \bar{C}) + AD + ADE \\ S &= AB \cdot 1 + AD(1 + E) \\ S &= AB + AD \end{split} $$
Leitura: a simplificação costuma avançar em ondas, tratando cada parte da expressão.
Simplifique a expressão abaixo:
$$ S = A\bar{B}C + A\bar{B}\bar{C} + \bar{A}BC + \bar{A}B\bar{C} $$
$$ \begin{split} S &= A\bar{B}(C + \bar{C}) + \bar{A}B(C + \bar{C}) \\ S &= A\bar{B} + \bar{A}B \end{split} $$
Forma original
Forma reduzida
Leitura: cada par só diferia em $C$, então o circuito perde um nível inteiro de repetição.
No próximo capítulo, Minimização Visual, vamos usar o Mapa de Karnaugh para identificar esses agrupamentos de forma gráfica.