Teorema da Amostragem e Reconstrução

Nyquist, Reconstrução e Aliasing

Professor: Gabriel Soares Baptista

Ideia da Aula

• Vamos estudar quando um sinal contínuo pode ser substituído por amostras sem perder informação.
• A Transformada de Fourier passa a responder uma pergunta prática: quando podemos sair de $x(t)$, trabalhar com números e reconstruir o sinal?
• A amostragem é a ponte entre contínuo e discreto.
• Essa ponte prepara a análise de Fourier em tempo discreto e a TDF.

O Que Queremos Com a Amostragem

A meta é trocar um sinal contínuo por uma sequência sem perder a informação necessária para reconstrução.

$$ x(t) \quad \longrightarrow \quad x[n]=x(nT) \quad \longrightarrow \quad \hat{x}(t) $$

No caso ideal:

$$ \hat{x}(t)=x(t) $$

• O problema é descobrir quando essa igualdade é possível.
• A resposta depende da largura de faixa do sinal e da frequência de amostragem.

Objetivo Visual da Amostragem

O Problema de Pegar Poucos Pontos

• Uma senoide rápida pode oscilar várias vezes entre duas amostras consecutivas.
• Se isso acontecer, uma frequência alta pode parecer uma frequência baixa.
• As amostras, sozinhas, não carregam automaticamente a identidade do sinal original.

Duas Senoides, Mesmas Amostras

Leitura do Gráfico

• Olhando apenas para as amostras, não dá para distinguir a senoide de $1$ Hz da senoide de $6$ Hz.
• A condição de Nyquist existe para evitar essa ambiguidade.
• A restrição que resolve o problema vem do domínio da frequência.

Entre todos os sinais que passam pelas mesmas amostras, o sistema reconstrói o sinal compatível com a menor largura de faixa dentro da faixa representável.

Sinal Limitado Em Faixa

Um sinal $x(t)$ é limitado em faixa a $B$ Hz quando seu espectro é nulo fora de $[-B,B]$ Hz.

Em frequência angular:

$$ X(\omega)=0 \quad \text{para} \quad |\omega|>2\pi B $$

• Essa hipótese é a base do teorema da amostragem.
• Sem ela, a reconstrução exata não é garantida.

Taxa e Intervalo de Nyquist

Para um sinal limitado em faixa a $B$ Hz:

$$ f_{\text{Nyq}}=2B $$

Essa é a taxa de Nyquist do sinal.

O intervalo correspondente é:

$$ T_{\text{Nyq}}=\frac{1}{2B} $$

• $2B$ é requisito do sinal.
• $f_s/2$ é o limite representável pelo sistema de amostragem.

Exemplo 1

Um sinal tem espectro diferente de zero apenas entre $-5$ Hz e $5$ Hz.

Largura de faixa:

$$ B=5\text{ Hz} $$

Taxa de Nyquist:

$$ f_{\text{Nyq}}=2B=10\text{ Hz} $$

• Em condições ideais, amostrar a partir de $10$ amostras/s preserva a informação.
• Na formulação estrita, usamos $f_s>2B$.

Modelo Ideal de Amostragem

Amostragem ideal equivale a multiplicar $x(t)$ por um trem de impulsos espaçados de $T$ segundos.

$$ T=\frac{1}{f_s} $$

O sinal amostrado ideal é:

$$ x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT) $$

• O impulso em $t=nT$ tem peso $x(nT)$.
• Cada impulso guarda uma amostra do sinal.

O Que Acontece Na Frequência

• Amostrar no tempo é multiplicar por um trem de impulsos.
• Multiplicação no tempo vira convolução na frequência.
• A transformada de um trem de impulsos também é um trem de impulsos.
• Logo, o espectro original é repetido em múltiplos da frequência de amostragem.

Resultado essencial:

$$ X_s(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s) $$

$$ \omega_s=\frac{2\pi}{T}=2\pi f_s $$

Réplicas Espectrais

Leitura Das Réplicas

• Subamostragem: as cópias se misturam. Não há filtro que separe o espectro original.
• Taxa de Nyquist: as cópias encostam. A reconstrução exige filtro ideal.
• Superamostragem: aparece uma faixa de guarda entre as cópias.

Condição de Nyquist

Se o espectro ocupa de $-B$ a $B$ Hz, cada cópia tem largura total $2B$.

Para reconstruir o sinal, as cópias não podem se sobrepor:

$$ f_s>2B $$

• $2B$ é a taxa de Nyquist do sinal.
• $T_{\text{Nyq}}=1/(2B)$ é o intervalo correspondente.
• A igualdade $f_s=2B$ é caso limite ideal.

Taxa de Nyquist vs Frequência de Nyquist

Exemplo:

• Se $B=4$ kHz, a taxa de Nyquist é $8$ kHz.
• Se o sistema amostra a $f_s=10$ kHz, sua frequência de Nyquist é $5$ kHz.

Exemplo 2

Um sinal tem largura de faixa $B=4$ kHz.

Taxa de Nyquist:

$$ f_{\text{Nyq}}=2B=8\text{ kHz} $$

Intervalo de Nyquist:

$$ T_{\text{Nyq}}=\frac{1}{8000}=125\ \mu\text{s} $$

• Uma amostra a cada $125\ \mu\text{s}$ é o limite teórico ideal.

Três Casos de Amostragem

• Na prática, a superamostragem é mais viável.
• Ela permite filtros que não cortam abruptamente.

Exemplo 3

Para $B=5$ Hz:

$$ f_{\text{Nyq}}=2B=10\text{ Hz} $$

Comparação:

• $f_s=5$ Hz: subamostragem, com sobreposição espectral.
• $f_s=10$ Hz: caso de Nyquist, com separação ideal no limite.
• $f_s=20$ Hz: superamostragem, com faixa de guarda.

Da Amostragem À Frequência Discreta

Depois da amostragem:

$$ x[n]=x(nT) $$

Uma exponencial contínua

$$ e^{j\omega_0t} $$

avaliada em $t=nT$ vira

$$ x[n]=e^{j\omega_0nT}=e^{j\Omega_0n} $$

com

$$ \Omega_0=\omega_0T $$

Frequência Discreta

• $\Omega$ é medida em radianos por amostra.
• Ela indica quanto a fase avança de uma amostra para a próxima.
• Ela não é medida em radianos por segundo.

Como $T=1/f_s$:

$$ \Omega_0=\omega_0T=2\pi\frac{f_0}{f_s} $$

Essa relação é a ponte entre frequência contínua e frequência discreta.

Periodicidade Em $2\pi$

Para $n$ inteiro:

$$ e^{j(\Omega+2\pi)n}=e^{j\Omega n}e^{j2\pi n}=e^{j\Omega n} $$

Portanto:

$$ \Omega \quad \text{e} \quad \Omega+2\pi $$

geram a mesma sequência.

• A análise de Fourier de sequências é periódica em $2\pi$.
• A sequência não distingue frequências contínuas separadas por múltiplos de $f_s$.

Exemplo 4

Mostre que $1$ Hz e $6$ Hz geram a mesma sequência quando $f_s=5$ Hz.

Para $1$ Hz:

$$ x_1[n]=\cos\left(2\pi\frac{1}{5}n\right) $$

Para $6$ Hz:

$$ x_2[n]=\cos\left(2\pi\frac{6}{5}n\right) $$

Como

$$ 2\pi\frac{6}{5}n=2\pi\frac{1}{5}n+2\pi n $$

temos $x_2[n]=x_1[n]$.

Amostragem Prática

• O trem de impulsos é um modelo matemático ideal.
• Na prática, usamos pulsos de largura finita.
• Ainda é possível recuperar $x(t)$ se a taxa respeitar Nyquist.
• A informação dos valores $x(nT)$ continua embutida no sinal amostrado.

Reconstrução Como Filtragem

Reconstruir é recuperar a cópia central de $X(\omega)$ a partir de $X_s(\omega)$.

No caso ideal, usamos um filtro passa-baixas com ganho $T$.

Uma frequência de corte conveniente é:

$$ \omega_c=\frac{\pi}{T} $$

ou

$$ f_c=\frac{f_s}{2} $$

• O filtro seleciona a cópia central.
• As réplicas vizinhas são rejeitadas.

Exemplo 5

Um sinal limitado a $B=3$ kHz é amostrado a $f_s=10$ kHz.

• A cópia central ocupa de $-3$ kHz a $3$ kHz.
• A réplica mais próxima começa em:

$$ f_s-B=10-3=7\text{ kHz} $$

Portanto, há uma faixa de transição entre $3$ kHz e $7$ kHz.

• Essa margem permite um filtro passa-baixas prático.

Interpolação No Tempo

Reconstruir também pode ser visto como interpolar valores entre amostras.

• Desenhar algo entre pontos não é o mesmo que reconstruir idealmente.

Comparando Interpolações

Dificuldades Práticas

O teorema é exato no modelo ideal. Na prática, surgem dificuldades:

• filtro passa-baixas ideal não é realizável fisicamente;
• transição abrupta perfeita exigiria atraso infinito;
• sinais práticos não são perfeitamente limitados em faixa;
• sinais limitados no tempo possuem caudas espectrais.

Essas caudas podem se sobrepor após a amostragem.

Essa sobreposição é o aliasing.

A Traição do Aliasing

Aliasing ocorre quando componentes de alta frequência aparecem como componentes de baixa frequência após a amostragem.

Se a taxa de amostragem é $f_s$, a frequência de dobra é:

$$ \frac{f_s}{2} $$

Uma componente em

$$ \frac{f_s}{2}+f_z $$

pode aparecer como

$$ \frac{f_s}{2}-f_z $$

Frequência Aparente

Para calcular a frequência que aparece nas amostras, trazemos $f_0$ para a faixa fundamental:

$$ -\frac{f_s}{2}\le f_a \le \frac{f_s}{2} $$

usando

$$ f_a=f_0-mf_s $$

• $m$ é escolhido para colocar $f_a$ nessa faixa.
• A frequência aparente observada é $|f_a|$.
• Se $f_a<0$, a forma cossenoidal aparece com mudança no sinal da fase.

Dobramento Espectral

Exemplo 6

Uma senoide de $100$ Hz é amostrada a $120$ Hz.

Frequência de dobra:

$$ \frac{f_s}{2}=60\text{ Hz} $$

Como

$$ 100=60+40 $$

ela aparece como

$$ 60-40=20\text{ Hz} $$

• Uma senoide real de $100$ Hz pode parecer uma senoide de $20$ Hz.

Aliasing Em Jogos, Imagens e Fontes

Aliasing também aparece em imagens, jogos e fontes.

• A grade de pixels é uma amostragem espacial.
• Texturas, grades e bordas finas podem ter detalhes maiores do que a resolução consegue representar.
• Isso gera serrilhado, moiré, flickering e contornos quebrados.

No tempo, frequência alta pode parecer baixa.

No espaço, detalhe fino pode virar um padrão falso.

Antialiasing Em Computação Gráfica

A ideia é reduzir detalhes espaciais antes da exibição final.

Exemplos:

• suavização de bordas;
• mipmapping;
• filtragem de textura;
• supersampling.

Essas técnicas não criam resolução nova. Elas reduzem a energia dos detalhes que virariam padrões falsos depois da amostragem espacial.

Filtro Antialiasing

A solução prática em sinais é filtrar antes de amostrar.

• O filtro antialiasing remove ou atenua componentes acima de $f_s/2$.
• Ele precisa vir antes da amostragem.
• Depois que o aliasing aconteceu, a frequência real e a frequência falsa ficam indistinguíveis nas amostras.

Próximos Passos

• A amostragem cria a ponte entre $x(t)$ e $x[n]$.
• A frequência discreta $\Omega$ explica por que espectros de sequências são periódicos.
• Na próxima aula, avançaremos para conversão A/D, amostragem espectral, TDF e FFT.