Professor: Gabriel Soares Baptista
Para um sinal $x(t)$, a Transformada de Laplace $X(s)$ é definida matematicamente pela seguinte integral:
$$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$
Nesse contexto, o sinal $x(t)$ é a transformada inversa de Laplace de $X(s)$. A recuperação do sinal original ocorre por meio da expressão:
$$x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} X(s) e^{st} ds$$
A variável $c$ representa uma constante escolhida para assegurar a convergência do cálculo.
Este conjunto de equações constitui o par da transformada de Laplace bilateral. Simbolicamente, representamos estas relações como:
$$X(s) = \mathcal{L}[x(t)] \quad \text{e} \quad x(t) = \mathcal{L}^{-1}[X(s)]$$
Notação Simplificada:
Na prática, utilizamos uma seta bidirecional para indicar o par:
$$x(t) \iff X(s)$$
A transformada bilateral abrange tanto sinais causais quanto não causais.
A transformada de Laplace é uma operação linear, o que significa que o princípio da superposição é válido. Se:
$$x_1(t) \iff X_1(s) \quad \text{e} \quad x_2(t) \iff X_2(s)$$
então a combinação linear será:
$$a_1x_1(t) + a_2x_2(t) \iff a_1X_1(s) + a_2X_2(s)$$
A prova fundamenta-se na definição da integral:
$$\mathcal{L}[a_1x_1(t) + a_2x_2(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} [a_1x_1(t) + a_2x_2(t)]e^{-st} dt$$
Expandindo a integral:
$$= a_1 \int_{-\infty}^{\infty} x_1(t)e^{-st} dt + a_2 \int_{-\infty}^{\infty} x_2(t)e^{-st} dt$$
O que resulta em:
$$= a_1X_1(s) + a_2X_2(s)$$
A Região de Convergência (RDC), ou região de existência, é o conjunto de valores de $s$ no plano complexo para os quais a integral de definição converge.
A transformada de Laplace não é definida apenas por uma expressão algébrica, mas sim pelo par {Expressão, RDC}. Sem a RDC, a representação pode ser ambígua para sinais diferentes com a mesma forma algébrica em $s$.
Para um sinal $x(t) = e^{-at}u(t)$, determine a transformada de Laplace $X(s)$ e sua RDC.
Desenvolvimento:
Substituindo na definição, os limites mudam devido ao degrau $u(t)$:
$$X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} dt$$
Cálculo da integral:
$$X(s) = \left[ -\frac{1}{s+a} e^{-(s+a)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+a} \left[ 1 - \lim_{t \to \infty} e^{-(s+a)t} \right]$$
Expandindo $s = \sigma + j\omega$:
$$e^{-(s+a)t} = e^{-(\sigma+a)t} \cdot e^{-j\omega t}$$
O limite tende a zero se, e somente se, $\sigma + a > 0$. Portanto, a RDC é $\text{Re}\{s\} > -a$.
Resultado Final:
$$e^{-at}u(t) \longleftrightarrow \frac{1}{s+a}, \quad \text{Re}\{s\} > -a$$
Determine a transformada de Laplace do sinal $x(t) = \delta(t)$.
Desenvolvimento:
Pela propriedade de amostragem, a integral amostra a função no instante zero:
$$\mathcal{L}[\delta(t)] = \int_{0^-}^{\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^{-s(0)} = 1$$
Como o resultado é uma constante, a integral converge para qualquer valor de $s$.
Resultado Final:
$$\delta(t) \longleftrightarrow 1, \quad \text{para todo } s$$
Determine a transformada de Laplace do sinal $x(t) = u(t)$.
Desenvolvimento:
Considerando $u(t)$ como $e^{-at}u(t)$ com $a=0$:
$$\mathcal{L}[u(t)] = \int_{0^-}^{\infty} e^{-st} dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{0^-}^{\infty} = \frac{1}{s} (1 - \lim_{t \to \infty} e^{-st})$$
A convergência exige $\text{Re}\{s\} > 0$.
Resultado Final:
$$u(t) \longleftrightarrow \frac{1}{s}, \quad \text{Re}\{s\} > 0$$
Determine a transformada de Laplace de $x(t) = \cos(\omega_0 t) u(t)$.
Desenvolvimento (Identidade de Euler):
$$x(t) = \frac{1}{2} \left[ e^{j\omega_0 t} u(t) + e^{-j\omega_0 t} u(t) \right]$$
Aplicando a linearidade:
$$\mathcal{L}[x(t)] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{s - j\omega_0} + \frac{1}{s + j\omega_0} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{s + j\omega_0 + s - j\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \right]$$
Resultado Final:
$$\cos(\omega_0 t)u(t) \longleftrightarrow \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}, \quad \text{Re}\{s\} > 0$$
Embora a definição formal envolva integração no plano complexo, na prática utilizamos a Tabela de Laplace e a expansão em frações parciais.
O objetivo é expressar $X(s)$ como uma soma de funções elementares conhecidas.
Zeros e Polos:
Em funções racionais $X(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}$:
Determine a transformada inversa de Laplace de $X(s) = \frac{7s - 6}{s^2 - s - 6}$.
Passo 1: Fatoração do Denominador:
$s^2 - s - 6 = (s - 3)(s + 2)$.
Passo 2: Expansão:
$$X(s) = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s + 2}$$
$A = \left. \frac{7s - 6}{s + 2} \right|_{s=3} = 3$ e $B = \left. \frac{7s - 6}{s - 3} \right|_{s=-2} = 4$.
Resultado Final:
$$x(t) = (3e^{3t} + 4e^{-2t})u(t)$$
Determine a transformada inversa de $X(s) = \frac{2s^2 + 5}{s^2 + 3s + 2}$.
Passo 1: Divisão (Grau do Num. = Grau do Denom.):
$$X(s) = 2 + \frac{-6s + 1}{s^2 + 3s + 2}$$
Passo 2: Expansão do Resto:
$$\frac{-6s + 1}{(s+1)(s+2)} = \frac{7}{s+1} - \frac{13}{s+2}$$
Resultado Final:
$$x(t) = 2\delta(t) + (7e^{-t} - 13e^{-2t})u(t)$$
Determine a inversa de $X(s) = \frac{6(s + 34)}{s(s^2 + 10s + 34)}$.
Passo 1: Expansão:
$$X(s) = \frac{6}{s} + \frac{-6s - 54}{s^2 + 10s + 34}$$
Passo 2: Identificação (Regra 10c):
$a = 5$, $c = 34 \implies b = \sqrt{34 - 25} = 3$.
$r \cos \theta = -6$ e $r \sin \theta = \frac{(-6)(5) - (-54)}{3} = 8$.
$r = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10$, $\theta = \operatorname{atan2}(8, -6) \approx 126,87^\circ$.
Resultado Final:
$$x(t) = [6 + 10e^{-5t} \cos(3t + 126,87^\circ)]u(t)$$
Permitem prever o comportamento temporal nos limites $t \to 0$ e $t \to \infty$ sem a inversão completa.
Teorema do Valor Inicial (TVI):
$$x(0^+) = \lim_{s \to \infty} sX(s)$$
Válido se $X(s)$ for estritamente própria ($M < N$).
Teorema do Valor Final (TVF):
$$\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0} sX(s)$$
Válido se $sX(s)$ não possuir polos no Semi-Plano Direito ou no eixo imaginário (estabilidade).