Sinais e Sistemas

Convolução

Professor: Gabriel Soares Baptista

Introdução

  • A resposta ao impulso unitário, denotada por $h(t)$, é a saída de um sistema linear invariante no tempo (LCIT) quando a entrada é um impulso de Dirac $\delta(t)$.
  • Conhecendo $h(t)$, podemos calcular a resposta a qualquer entrada $x(t)$ através da integral de convolução.
  • Para sistemas descritos por equações diferenciais lineares: $Q(D)y(t) = P(D)x(t)$.

A Resposta $h(t)$ ao Impulso Unitário

  • Quando $M < N$, a resposta ao impulso é composta apenas por uma combinação linear dos modos característicos do sistema, multiplicada pela função degrau unitário $u(t)$.
  • Modos característicos são funções exponenciais $e^{\lambda_i t}$, onde $\lambda_i$ são as raízes do polinômio característico $Q(\lambda)=0$.

$$h(t) = \big( c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} + \dots + c_N e^{\lambda_N t} \big) u(t)$$

Exemplo 1

Determine a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema descrito pela equação diferencial:

$$(D^2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t)$$

Ou:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y(t) = \frac{dx}{dt} + x(t)$$

Exemplo 1 (Solução - Parte 1)

  1. Forma funcional ($t > 0$): Equação característica $\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0 \implies (\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0$. Raízes: $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -3$.

$$f(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t}$$

  1. Derivadas de $h(t) = f(t)u(t)$:
  • $\dot{h}(t) = \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t)$
  • $\ddot{h}(t) = \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t)$

Exemplo 1 (Solução - Parte 2)

  1. Balanço de Singularidades: Substituindo na E.D. e comparando termos com $\dot{\delta}(t)$ e $\delta(t)$:
  • Coeficiente de $\dot{\delta}(t)$: $f(0) = 1$
  • Coeficiente de $\delta(t)$: $\dot{f}(0) + 5f(0) = 1 \implies \dot{f}(0) = -4$
  1. Sistema Linear:
  • $c_1 + c_2 = 1$
  • $-2c_1 - 3c_2 = -4$
  • Resultado: $c_1 = -1, c_2 = 2$

Resultado Final:

$$\boxed{h(t) = (-e^{-2t} + 2e^{-3t})u(t)}$$

Exemplo 2

Determine a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema LCIT:

$$(D + 2)y(t) = (3D + 5)x(t)$$

Ou na forma diferencial:

$$\frac{dy}{dt} + 2y(t) = 3\frac{dx}{dt} + 5x(t)$$

Exemplo 2 (Solução)

  • Regra das Ordens: $N=1$ e $M=1$. Como $N=M$, a solução deve conter um termo impulsivo $A\delta(t)$.
  • Forma funcional: $h(t) = A\delta(t) + y_n(t)u(t)$, onde $y_n(t) = Ke^{-2t}$.
  • Balanço:
  • $\dot{\delta}(t)$: $A = 3$
  • $\delta(t)$: $y_n(0) + 2A = 5 \implies y_n(0) = -1 \implies K = -1$

Resultado Final:

$$\boxed{h(t) = 3\delta(t) - e^{-2t}u(t)}$$

Exemplo 3

Determine a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema descrito pela equação:

$$D(D + 2)y(t) = (D + 4)x(t)$$

Expandindo:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt} + 4x(t)$$

Exemplo 3 (Solução)

  • Análise: $N=2, M=1$. Como $N>M$, não há termo $\delta(t)$ isolado.

  • Forma funcional: $\lambda^2 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = 0, \lambda = -2$. Logo, $f(t) = c_1 + c_2 e^{-2t}$.

  • Balanço de Singularidades:

  • $\dot{\delta}(t)$: $f(0) = 1$

  • $\delta(t)$: $\dot{f}(0) + 2f(0) = 4 \implies \dot{f}(0) = 2$

  • Constantes: $c_1 + c_2 = 1$ e $-2c_2 = 2 \implies c_2 = -1, c_1 = 2$.

Resultado Final:

$$\boxed{h(t) = (2 - e^{-2t})u(t)}$$

Resposta de Estado Nulo

  • Refere-se à saída $y(t)$ produzida quando o sistema recebe uma entrada $x(t)$, partindo de condições iniciais nulas.
  • Baseia-se no princípio da superposição: qualquer sinal $x(t)$ pode ser visto como uma soma de infinitos impulsos deslocados e escalonados.

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t - \tau) d\tau$$

  • Essa operação é a Integral de Convolução, representada por $x(t) * h(t)$.

Propriedades da Convolução

  • Comutativa: $x_1(t) * x_2(t) = x_2(t) * x_1(t)$.
  • Distributiva: $x_1(t) * [x_2(t) + x_3(t)] = x_1(t) * x_2(t) + x_1(t) * x_3(t)$.
  • Associativa: $x_1(t) * [x_2(t) * x_3(t)] = [x_1(t) * x_2(t)] * x_3(t)$.
  • Deslocamento: Se $x_1(t) * x_2(t) = c(t)$, então $x_1(t - T_1) * x_2(t - T_2) = c(t - T_1 - T_2)$.
  • Impulso: $x(t) * \delta(t) = x(t)$.

Causalidade e Limites

  • Para sistemas e sinais causais ($h(t)=0$ e $x(t)=0$ para $t<0$), os limites da integral de convolução são simplificados:

$$y(t) = \int_{0^{-}}^{t} x(\tau)h(t - \tau) d\tau, \quad t \geq 0$$

Exemplo 5

Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitário dada por $h(t) = e^{-2t}u(t)$, determine a resposta $y(t)$ para a entrada:

$$x(t) = e^{-t}u(t)$$

Exemplo 5 (Solução)

  1. Montagem da Integral: $y(t) = \int_{0}^{t} e^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}\,d\tau$.
  2. Simplificação: $y(t) = e^{-2t}\int_{0}^{t} e^{-\tau}e^{2\tau}\,d\tau = e^{-2t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau$.
  3. Integração: $\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^t - 1$.
  4. Resultado: $y(t) = e^{-2t}(e^t - 1) = e^{-t} - e^{-2t}$.

Resultado Final:

$$\boxed{y(t) = \big(e^{-t} - e^{-2t}\big)u(t)}$$

Exemplo 6

Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitário dada por $h(t) = 6e^{-t}u(t)$, determine a resposta do sistema para a entrada:

$$x(t) = 2u(t)$$

Exemplo 6 (Solução)

  1. Montagem: $y(t) = \int_{0}^{t} (2) \cdot 6e^{-(t-\tau)}\,d\tau = 12e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau$.
  2. Integração: $12e^{-t} \left[ e^{\tau} \right]_0^t = 12e^{-t}(e^t - 1)$.
  3. Simplificação: $y(t) = 12(1 - e^{-t})$.

Resultado Final:

$$\boxed{y(t) = 12(1 - e^{-t})u(t)}$$

Sistemas Interconectados

  • Paralelo: $h_p(t) = h_1(t) + h_2(t)$.
  • Série (Cascata): $h_c(t) = h_1(t) * h_2(t)$.

Próximos Passos

  • Próximo capítulo: 6 - Transformada de Laplace.
  • Veremos como a convolução no tempo se transforma em uma simples multiplicação no domínio da frequência complexa $s$.