Sistemas

Sistemas de Sinais e Processamento

Professor: Gabriel Soares Baptista

Introdução aos Sistemas

Os sinais são processados por sistemas, entidades capazes de modificá-los ou extrair informações.

O que é um Sistema?

Um sistema processa um conjunto de sinais (entradas), resultando em um novo conjunto (saídas).

Exemplo Prático

Um radar de artilharia processa o sinal da posição passada e velocidade do alvo (entrada) para estimar a posição futura (saída).

Representação de Sistemas

Classificações Fundamentais

Estudamos sistemas através de categorias que facilitam a análise matemática:

1. Lineares e Não Lineares: Obediência ao princípio da superposição.
2. Invariantes ou Variantes no Tempo: Estabilidade dos parâmetros físicos ao longo do tempo.
3. Instantâneos ou Dinâmicos: Dependência de valores atuais vs. valores passados/futuros (memória).
4. Causais ou Não Causais: Dependência apenas de valores presentes e passados da entrada.
5. Inversíveis ou Não Inversíveis: Possibilidade de recuperar a entrada original a partir da saída.
6. Estáveis ou Instáveis: Comportamento da saída para entradas limitadas.

Sistemas Lineares

Um sistema é linear se sua saída for proporcional à sua entrada, satisfazendo o Princípio da Superposição.

1. Propriedade Aditiva

Se $x_1 \xrightarrow{S} y_1$ e $x_2 \xrightarrow{S} y_2$, então:

$$\boxed{x_1 + x_2 \xrightarrow{S} y_1 + y_2}$$

2. Propriedade de Homogeneidade

Para qualquer constante $k$:

$$\boxed{kx \xrightarrow{S} ky}$$

Equação Geral da Superposição:

$$k_1x_1 + k_2x_2 \xrightarrow{S} k_1y_1 + k_2y_2$$

Decomposição da Resposta Total

Em sistemas lineares, a resposta total para $t \geq 0$ é a soma de duas causas independentes:

$$\text{resposta total} = \text{resposta entrada nula} + \text{resposta estado nulo}$$

• Resposta a entrada nula: Saída gerada apenas pelas condições iniciais ($x(t) = 0$).
• Resposta a estado nulo: Saída gerada apenas pela entrada externa (condições iniciais nulas).

Circuito RC:

$$y(t) = \underbrace{v_c(0)}_{\text{Entrada Nula}} + \underbrace{Rx(t) + \frac{1}{C}\int_{0}^{t}x(\tau)d\tau}_{\text{Estado Nulo}}$$

Prática: Verificação de Linearidade (I)

Exemplo 1: Mostre que $\frac{dy}{dt} + 3y(t) = x(t)$ é linear.

Prática: Verificação de Linearidade (I)

Exemplo 1: Mostre que $\frac{dy}{dt} + 3y(t) = x(t)$ é linear.

$$\begin{split} \text{Sejam } y_1, y_2 \text{ respostas a } x_1, x_2: \\ a(\frac{dy_1}{dt} + 3y_1) &= a x_1(t) \\[6pt] b(\frac{dy_2}{dt} + 3y_2) &= b x_2(t) \\[6pt] \text{Somando as equações: } \\ \frac{d}{dt}[a y_1 + b y_2] + 3[a y_1 + b y_2] &= a x_1 + b x_2 \\[6pt] \text{Definindo } y_3 = ay_1 + by_2 \text{ e } x_3 = ax_1 + bx_2: \\ \boxed{\frac{dy_3}{dt} + 3y_3(t) = x_3(t)} \end{split}$$

O sistema satisfaz a superposição; logo, é linear.

Prática: Verificação de Linearidade (II)

Exemplo 3: Mostre que $y(t)\frac{dy}{dt} + 3y(t) = x(t)$ não é linear.

Prática: Verificação de Linearidade (II)

Exemplo 3: Mostre que $y(t)\frac{dy}{dt} + 3y(t) = x(t)$ não é linear.

$$\begin{split} \text{Ao testar } y_3 = ay_1 + by_2 \text{ no sistema:} \\ [a y_1 + b y_2]\frac{d}{dt}[a y_1 + b y_2] + 3[a y_1 + b y_2] &= x_3 \\[6pt] \text{Expandindo o termo derivativo:} \\ \underbrace{a^2 y_1\frac{dy_1}{dt} + b^2 y_2\frac{dy_2}{dt}}_{\text{Termos Lineares}} + \underbrace{ab(y_1\frac{dy_2}{dt} + y_2\frac{dy_1}{dt})}_{\text{Termos Cruzados}} + 3(ay_1 + by_2) &= ax_1 + bx_2 \end{split}$$

Os termos cruzados impedem que a saída seja uma combinação linear pura das saídas individuais.

Conclusão: O sistema é não linear.

Questões de fixação - 1 / 3

1. Um sistema é considerado linear quando sua saída é proporcional à sua entrada, exigindo o cumprimento de duas propriedades fundamentais. Nomeie e descreva essas duas propriedades que compõem o princípio da superposição.

2. Em sistemas lineares, a resposta total pode ser decomposta na soma de duas componentes distintas: a resposta a entrada nula e a resposta a estado nulo. Diferencie essas duas componentes, explicando o papel das condições iniciais e da entrada externa em cada uma.

Sistemas Invariantes no Tempo

Sistemas com parâmetros constantes que não mudam com o tempo.

Propriedade do Atraso

Se a entrada for atrasada por $T$ segundos, a saída será a mesma, porém igualmente atrasada.

Sistemas Invariantes no Tempo

Comutatividade

Um sistema é invariante no tempo se, e somente se, a operação do sistema $S$ e o atraso temporal comutarem.

Prática: Invariância Temporal

Exemplo 4: Mostre que $y(t) = (\text{sen } t)x(t - 2)$ é variante no tempo.

Prática: Invariância Temporal

Exemplo 4: Mostre que $y(t) = (\text{sen } t)x(t - 2)$ é variante no tempo.

$$\begin{split} \text{1. Atraso na saída: } \\ y(t - t_0) &= \text{sen}(t - t_0)x(t - t_0 - 2) \\[6pt] \text{2. Atraso na entrada antes do sistema: } \\ S[x(t - t_0)] &= (\text{sen } t)x(t - t_0 - 2) \\[6pt] \text{Comparando os resultados: } \\ \text{sen}(t - t_0) &\neq \text{sen } t \end{split}$$

Como o multiplicador $(\text{sen } t)$ depende explicitamente de $t$ e não sofre o deslocamento, o sistema é variante no tempo.

Questões de fixação - 2 / 3

1. Se a regra de transformação de um sistema depender explicitamente da variável $t$ (como um multiplicador $t$ ou $e^{-t}$), o sistema será classificado como variante ou invariante no tempo? Justifique sua resposta com base na estabilidade dos parâmetros físicos.

2. Explique a relação de comutatividade entre o sistema e a operação de atraso. O que acontece com a saída de um sistema invariante no tempo se aplicarmos o atraso à entrada antes do processamento em comparação a aplicá-lo à saída?

Sistemas Instantâneos e Dinâmicos

Diferenciam-se pela dependência temporal da entrada para gerar a saída.

Instantâneos (Memoryless)

A saída em $t$ depende exclusivamente da entrada no mesmo instante $t$.

• Exemplo: Circuitos puramente resistivos.

Dinâmicos (Com Memória)

A saída depende de valores passados ou futuros da entrada.

• Memória Finita: Depende dos últimos $T$ segundos.
• Memória Infinita: Depende de todo o histórico ($-\infty, t$).

Causalidade e Realizabilidade

Sistemas Causais (Físicos)

A saída em $t_0$ depende apenas de $x(t)$ para $t \le t_0$.

• Regra: A saída não pode começar antes da entrada.
• Uso: Obrigatórios para operação em tempo real.

Sistemas Não Causais (Antecipativos)

Dependem de valores futuros da entrada ($t > t_0$).

Causalidade e Realizabilidade

Sistemas Não Causais (Antecipativos)

Causalização via Atraso:
Um sistema não causal pode ser implementado se aceitarmos um atraso na entrega da saída.

Inversibilidade e Estabilidade

Sistemas Inversíveis

É possível recuperar $x(t)$ a partir de $y(t)$ (mapeamento um-para-um).

• Cascateamento: $S$ seguido de seu inverso $S_i$ resulta em um sistema identidade.

Estabilidade BIBO

Bounded-Input/Bounded-Output.

• Um sistema é estável se qualquer entrada limitada resultar em uma saída limitada.
• Impede que a saída cresça indefinidamente para o infinito.

Prática: Estabilidade e Inversão

Exemplo 6: Analise $y(t) = x^2(t)$ quanto à inversibilidade e estabilidade BIBO.

Prática: Estabilidade e Inversão

Exemplo 6: Analise $y(t) = x^2(t)$ quanto à inversibilidade e estabilidade BIBO.

1. Inversibilidade:
Se $x_1(t) = 2$ e $x_2(t) = -2$, ambas resultam em $y(t) = 4$.
Como entradas diferentes geram a mesma saída, o sistema é não inversível.

2. Estabilidade BIBO:
Suponha $|x(t)| \le M$ (limitada).
Então $|y(t)| = |x(t)|^2 \le M^2$.
Como a saída também é limitada por $M^2$, o sistema é estável BIBO.

Questões de fixação - 3 / 3

1. Um sistema cuja resposta no instante $t$ seja definida pelos sinais de entrada ocorridos no intervalo de $(t - T)$ a $T$ é conhecido como um sistema de memória finita. Como se classificam os sistemas em que a história passada das entradas é considerada irrelevante para a resposta atual?

2. Explique por que sistemas não causais não são realizáveis em operações de processamento imediato (tempo real). Como um sistema causal que utiliza um atraso de tempo pode ser usado para aproximar um modelo não causal?

3. Defina a Estabilidade BIBO e explique a diferença entre a estabilidade externa e a estabilidade interna de um sistema. Por que o critério BIBO é crucial na engenharia para garantir a segurança dos dispositivos?

Próximos Passos

Iniciaremos o estudo da análise de sistemas no domínio do tempo, explorando a resposta ao impulso e a integral de convolução para sistemas lineares invariantes no tempo (LIT).