Sinais e Sistemas

Capítulo 1: Fundamentos e Modelagem de Sinais

Professor: Gabriel Soares Baptista

Introdução

• Exploração de aspectos fundamentais dos sinais.
• Construção de base sólida para análise de sistemas.
• Foco em conceitos básicos e explicações qualitativas sobre métodos da teoria de sistemas.

O que é um Sinal?

• Definição: Conjunto de dados ou informações qualquer.
• Exemplos Práticos:
  • Sinais de telefone ou televisão.
  • Registro de vendas de uma corporação.
  • Média do índice IBOVESPA.
• Variável Independente:
  • Geralmente o tempo ($t$).
  • Pode ser o espaço (ex: densidade de carga elétrica).

Tamanho do Sinal

• Medida que indica a "força" ou magnitude do sinal.
• Deve considerar a amplitude (que varia no tempo) e a duração.

Energia do Sinal ($E_x$)

• A área sob o sinal $x(t)$ pode ser enganosa (cancelamento de áreas positivas e negativas).
• Solução: Definir o tamanho como a área sob o quadrado da amplitude.

Sinal Real: $$E_x = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(t) dt$$

Sinal Complexo: $$E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$$

Potência do Sinal ($P_x$)

• Utilizada quando a energia total é infinita (amplitude não tende a zero para $|t| \to \infty$).
• Representa a energia média temporal.

Definição Geral: $$P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt$$

Sinais Periódicos: A média pode ser calculada em apenas um período ($T_0$): $$P_x = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} |x(t)|^2 dt$$

Potência e Valor RMS

• A potência representa o valor médio quadrático da amplitude.
• A raiz quadrada da potência é o valor RMS (root mean square).

Exemplo 1: Cálculo de Energia e Potência

Exemplo 1: Cálculo de Energia e Potência

Análise Sinal (a): Amplitude $\to 0$. Medida: Energia. $$E_x = \int_{-1}^{0} (2)^2 dt + \int_{0}^{\infty} (2e^{-t/2})^2 dt$$ $$E_x = 4 + 4 = \boxed{8}$$

Análise Sinal (b): Periódico ($T=2$). Medida: Potência. $$P_x = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} t^2 dt = \boxed{1/3}$$

Exemplo 2: Potência de Sinais Fundamentais

1. Senoide Simples ($C \cos(\omega_0 t + \theta)$): $$P_x = \frac{C^2}{2} \quad \text{Valor RMS} = \frac{C}{\sqrt{2}}$$ Independe da frequência (se $\neq 0$) ou fase.

2. Soma de Senoides (Frequências distintas): $$P_x = \frac{C_1^2}{2} + \frac{C_2^2}{2} + \dots$$

3. Exponencial Complexa ($D e^{j\omega_0 t}$): $$P_x = |D|^2 \quad \text{Valor RMS} = |D|$$

Operações com Sinais

Foco em transformações da variável independente (tempo):

1. Deslocamento Temporal.
2. Escalamento Temporal.
3. Reversão Temporal.

Deslocamento Temporal

Representado por $x(t - T)$:

• $T > 0$ (Positivo): Deslocamento para a direita (Atraso).
• $T < 0$ (Negativo): Deslocamento para a esquerda (Avanço).

Deslocamento Temporal

Exemplo 3: Atraso e Avanço

Considere a função exponencial $x(t)=e^{-2t}$, ilustrada no item (a) da figura abaixo. Trace e descreva matematicamente essa função quando ela sofre um atraso de 1 segundo e, posteriormente, quando sofre um avanço de 1 segundo.

Sinal original: $x(t) = e^{-2t}$ para $t \ge 0$.

Exemplo 3: Atraso e Avanço

• Atraso (1s): $$x_d(t) = x(t-1) = e^{-2(t-1)}, \quad t \ge 1$$
• Avanço (1s): $$x_a(t) = x(t+1) = e^{-2(t+1)}, \quad t \ge -1$$

Escalonamento Temporal

Compressão ou expansão do eixo do tempo:

• Compressão ($a > 1$): $x(at)$. O sinal fica "mais rápido".
• Expansão ($a > 1$): $x(t/a)$. O sinal fica "mais lento".

Escalonamento Temporal

Reversão Temporal

• Reflexão do sinal em relação ao eixo vertical.
• Matematicamente: $x(-t)$.

Regra Prática: Substituir $t$ por $-t$. Se a condição era $-1 \ge t > -5$, na reversão torna-se $1 \le t < 5$.

Operações Combinadas

Para obter $x(at - b)$, existem dois métodos:

Método 1: Deslocamento $\to$ Escalamento

1. Deslocar por $b$: $x(t - b)$.
2. Escalar por $a$ (substituir $t$ por $at$): $x(at - b)$.

Método 2: Escalamento $\to$ Deslocamento

1. Escalar por $a$: $x(at)$.
2. Deslocar por $b/a$ (substituir $t$ por $t - b/a$): $x[a(t - b/a)] = x(at - b)$.

Classificação de Sinais - I

1. Tempo Contínuo vs. Discreto:

   • Contínuo: Especificado para todo $t$ (ex: voz).
   • Discreto: Apenas em instantes específicos (ex: PIB trimestral).

2. Analógico vs. Digital:

   • Refere-se à Amplitude (Eixo Vertical).
   • Analógico: Faixa contínua de valores.
   • Digital: Número finito de valores (ex: binário).

Classificação de Sinais - II

3. Periódico vs. Não Periódico:

   • Periódico se $x(t) = x(t + T_0)$ para todo $t$.
   • Exige duração infinita ($-\infty$ a $+\infty$).

4. Causalidade:

   • Causal: $x(t) = 0$ para $t < 0$.
   • Anti-causal: $x(t) = 0$ para $t \ge 0$.

5. Determinístico vs. Aleatório:

   • Determinístico: Descrição física/matemática conhecida.
   • Aleatório: Descrição probabilística/estatística.

Função Degrau Unitário - $\text{ }u(t)$

Modelo fundamental para sinais que "ligam" em $t=0$:

$$u(t) = \begin{cases} 1 & t \ge 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}$$

• Uso: Transformar sinais de duração infinita em sinais causais (ex: $e^{-at}u(t)$).
• Pulsos: Um pulso que liga em $T_1$ e desliga em $T_2$ é dado por: $$x(t) = u(t - T_1) - u(t - T_2)$$

Exemplo 7: Representação por Degraus

Expressar o sinal $x(t)$ abaixo como uma única equação:

Exemplo 7: Representação por Degraus

1. Parte 1: Rampa $t$ entre 0 e 2: $x_1(t) = t[u(t) - u(t - 2)]$
2. Parte 2: Rampa decrescente $-2(t-3)$ entre 2 e 3: $x_2(t) = -2(t - 3)[u(t - 2) - u(t - 3)]$

Final: $x(t) = t u(t) - 3(t - 2)u(t - 2) + 2(t - 3)u(t - 3)$

Função Impulso Unitário - $\text{ }\delta(t)$

Idealização matemática: pulso de largura $\to 0$, altura $\to \infty$ e área = 1.

Propriedades Fundamentais:

1. $\delta(t) = 0$ para $t \neq 0$.
2. $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$.

Relação com o Degrau: O impulso é a derivada do degrau unitário: $$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$$

Propriedade de Amostragem do Impulso

Ao multiplicar uma função contínua por um impulso, "capturamos" o valor da função no instante do impulso:

Multiplicação: $$\phi(t)\delta(t - T) = \phi(T)\delta(t - T)$$

Integral (Amostragem): $$\int_{-\infty}^{\infty} \phi(t)\delta(t - T) dt = \phi(T)$$

O impulso atua como uma peneira que deixa passar apenas um ponto da função.

Função Exponencial Complexa - $\text{ }e^{st}$

Base para descrever quase todos os sinais de engenharia. $$s = \sigma + j\omega \quad (\text{Frequência Complexa})$$ $$e^{st} = e^{\sigma t}(\cos \omega t + j \operatorname{sen} \omega t)$$

O Plano $s$:

• $\sigma < 0$ (SPE): Sinais que decaem (estáveis).
• $\sigma > 0$ (SPD): Sinais que crescem (instáveis).
• $\sigma = 0$ (Eixo $j\omega$): Senoides de amplitude constante.

Funções Pares e Ímpares

Função Par ($x_e$): Simétrica ao eixo vertical. $$x_e(t) = x_e(-t) \implies \int_{-a}^{a} x_e(t) dt = 2 \int_{0}^{a} x_e(t) dt$$

Função Ímpar ($x_o$): Anti-simétrica ao eixo vertical. $$x_o(t) = -x_o(-t) \implies \int_{-a}^{a} x_o(t) dt = 0$$

Decomposição Par/Ímpar

Todo sinal $x(t)$ pode ser decomposto em uma parte par e uma ímpar:

$$x_e(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2} \quad \text{e} \quad x_o(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}$$

Exemplo 11: Decomposição de $e^{jt}$

• $x_e(t) = \frac{e^{jt} + e^{-jt}}{2} = \cos(t)$
• $x_o(t) = \frac{e^{jt} - e^{-jt}}{2} = j \operatorname{sen}(t)$
• $\boxed{e^{jt} = \cos(t) + j \operatorname{sen}(t)}$

Próximos Passos

• Estudo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT).
• Operação de Convolução.
• Resposta ao Impulso de sistemas.