Sinais e Sistemas

Revisão de Números Complexos

Professor: Gabriel Soares Baptista

Introdução

• Base Fundamental: Conteúdo essencial para Sinais e Sistemas.
• Objetivo: Consolidação teórica para aplicação em análise de frequência e sistemas lineares.
• Conceito: Números complexos não são "irreais"; a estranheza vem da falta de familiaridade.

Nota Histórica - I

Evolução Numérica

1. Naturais: Contagem discreta (elementos).
2. Frações: Necessidade agrícola (medidas contínuas).
3. Irracionais: Pitágoras e a diagonal do quadrado ($\sqrt{2}$).
4. Negativos: Contabilidade medieval e renascentista (débito/crédito).

Nota Histórica - II

O Surgimento dos Imaginários

• Impasse: Equações como $x^2 + 1 = 0$ resultam em $x^2 = -1$.
• Definição de Euler (1777): $i = \sqrt{-1}$.
• Engenharia Elétrica: Utilizamos $j$ para evitar confusão com corrente elétrica ($i$).

Exemplo:
$$\sqrt{-4} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = \pm 2j$$

Nota Histórica - III

A Verdadeira Motivação: Equações Cúbicas

Ao contrário do senso comum, não foi $x^2+1=0$ que forçou a aceitação, mas sim equações cúbicas como $x^3 - 15x - 4 = 0$.

• Fórmula de Cardano: Resultava em raízes de negativos: $\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}...$
• Bombelli: Tratou os imaginários como "veículo" para chegar à solução real.
• Solução Real: $4$.

Analogia Geográfica

A utilidade dos complexos ($Y$) para resolver problemas reais ($X$).

O caminho mais curto entre dois pontos reais pode passar pelo território complexo.

Álgebra de Números Complexos

Representação Cartesiana

$$z = a + jb$$

• Parte Real: $Re\ z = a$ (Eixo Horizontal)
• Parte Imaginária: $Im\ z = b$ (Eixo Vertical)

Representação Polar

Coordenadas $r$ e $\theta$

Relacionamento trigonométrico:
$$a = r \cos \theta$$
$$b = r \sin \theta$$

A Fórmula de Euler

$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$

Logo, a forma exponencial é:
$$\boxed{z = re^{j\theta}}$$

Conversão e Propriedades

Para converter entre $(a, b)$ e $(r, \theta)$:

Módulo:
$$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Ângulo (Fase):
$$\theta = \angle z = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

Inverso:
$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-j\theta} = \frac{1}{|z|}e^{-j \angle z}$$

Exemplo B.1 - Análise de Quadrantes

A matemática tem suas pegadinhas. Cuidado com a calculadora e a posição do ponto.

(a) $2 + j3$ (1º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$

Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{3}{2} \right) = 56,3^\circ$$

A calculadora fornece o valor correto diretamente.

$$\boxed{2 + j3 = \sqrt{13} e^{j56,3^\circ}}$$

Exemplo B.1 - Continuação

(b) $-2 + j1$ (2º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$

Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{1}{-2} \right) = 153,4^\circ$$

A calculadora retornaria $-26,6^\circ$. Ajuste: $(-26,6 + 180)^\circ = 153,4^\circ$.

$$\boxed{-2 + j1 = \sqrt{5} e^{j153,4^\circ}}$$

Exemplo B.1 - Continuação

(c) $-2 - j3$ (3º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$$

Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{-3}{-2} \right) = -123,7^\circ$$

A calculadora forneceria $56,3^\circ$. Ajuste para Valor Principal: subtrair $180^\circ$.

$$\boxed{-2 - j3 = \sqrt{13} e^{-j123,7^\circ}}$$

Exemplo B.1 - Continuação

(d) $1 - j3$ (4º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$$

Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{-3}{1} \right) = -71,6^\circ$$

A calculadora já fornece o valor correto diretamente.

$$\boxed{1 - j3 = \sqrt{10} e^{-j71,6^\circ}}$$

Exemplo B.2 - Polar para Cartesiano

Utilizando a fórmula de Euler para expansão.

(a) $2e^{j\pi/3}$

$$\boxed{2e^{j\pi/3} = 2(\cos \pi/3 + j \sin \pi/3) = 1 + j\sqrt{3}}$$

Exemplo B.2 - Polar para Cartesiano

(b) $4e^{-j3\pi/4}$

$$\boxed{4e^{-j3\pi/4} = 4(\cos 3\pi/4 - j \sin 3\pi/4) = -2\sqrt{2} - j2\sqrt{2}}$$

Exemplo B.2 - Casos sobre eixos

(c) $2e^{j\pi/2}$ (Eixo Imaginário Positivo)

$$\boxed{2e^{j\pi/2} = 2(\cos \pi/2 + j \sin \pi/2) = 2(0 + j1) = j2}$$

Exemplo B.2 - Casos sobre eixos

(d) $3e^{-j3\pi}$ (Eixo Real Negativo)

$$\boxed{3e^{-j3\pi} = 3(\cos 3\pi - j \sin 3\pi) = 3(-1 + j0) = -3}$$

Operações Aritméticas

Soma e Subtração

• Regra: Use a forma Cartesiana.
• Some/Subtraia partes reais e imaginárias separadamente.
• Se estiver em polar: converta primeiro.

Multiplicação e Divisão

• Regra: Use a forma Polar.

Multiplicação: Multiplica módulos, soma ângulos.
$$\boxed{z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{j(\theta_1 + \theta_2)}}$$

Divisão: Divide módulos, subtrai ângulos.
$$\boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{j(\theta_1 - \theta_2)}}$$

Potenciação e Radiciação

Potenciação

$$\boxed{z^n = r^n e^{jn\theta}}$$

Radiciação e Periodicidade

Existem $n$ raízes distintas para $z^{1/n}$.

$$\boxed{z^{1/n} = r^{1/n} e^{j(\theta + 2\pi k)/n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$

• $k=0$: Valor principal.

Exemplo B.3 - Comparação de Métodos

Dados: $z_1 = 3 + j4 = 5e^{j53,1^\circ}$ e $z_2 = 2 + j3 = \sqrt{13}e^{j56,3^\circ}$.

Multiplicação:

Divisão:

Exemplo B.4 - Operações Mistas

Dados: $z_1 = 2e^{j\pi/4}$ e $z_2 = 8e^{j\pi/3}$.

• (a) Subtração $2z_1 - z_2$

• (c) Divisão com Potência $z_1/z_2^2$

Exemplo B.4 - Operações Mistas

• (d) Raízes Cúbicas de $z_2$

Exemplo B.5 - Funções de Frequência

Considere a função:
$$X(\omega) = \frac{2 + j\omega}{3 + j4\omega}$$

Exemplo B.5 - Funções de Frequência

• (a) Determinação da forma Cartesiana e partes real e imaginária

Exemplo B.5 - Funções de Frequência

• (b) Determinação da forma polar, módulo e ângulo