Sinais e Sistemas

Revisão de Números Complexos

Professor: Gabriel Soares Baptista

Introdução

  • Base Fundamental: Conteúdo essencial para Sinais e Sistemas.
  • Objetivo: Consolidação teórica para aplicação em análise de frequência e sistemas lineares.
  • Conceito: Números complexos não são "irreais"; a estranheza vem da falta de familiaridade.
A Terminologia

O termo imaginário é histórico e infeliz. Se tivessem outro nome, seriam aceitos tão facilmente quanto números negativos ou irracionais.

Nota Histórica - I

Evolução Numérica

  1. Naturais: Contagem discreta (elementos).
  2. Frações: Necessidade agrícola (medidas contínuas).
  3. Irracionais: Pitágoras e a diagonal do quadrado ($\sqrt{2}$).
  4. Negativos: Contabilidade medieval e renascentista (débito/crédito).

Nota Histórica - II

O Surgimento dos Imaginários

  • Impasse: Equações como $x^2 + 1 = 0$ resultam em $x^2 = -1$.
  • Definição de Euler (1777): $i = \sqrt{-1}$.
  • Engenharia Elétrica: Utilizamos $j$ para evitar confusão com corrente elétrica ($i$).
$j^2 = -1$ e $\sqrt{-1} = \pm j$

Exemplo: $$\sqrt{-4} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = \pm 2j$$

Nota Histórica - III

A Verdadeira Motivação: Equações Cúbicas

Ao contrário do senso comum, não foi $x^2+1=0$ que forçou a aceitação, mas sim equações cúbicas como $x^3 - 15x - 4 = 0$.

  • Fórmula de Cardano: Resultava em raízes de negativos: $\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}...$
  • Bombelli: Tratou os imaginários como "veículo" para chegar à solução real.
  • Solução Real: $4$.
Teorema Fundamental da Álgebra (Gauss)

Toda equação de $n$-ésima ordem possui exatamente $n$ soluções (raízes) no plano complexo.

Analogia Geográfica

A utilidade dos complexos ($Y$) para resolver problemas reais ($X$).

O caminho mais curto entre dois pontos reais pode passar pelo território complexo.

Álgebra de Números Complexos

Representação Cartesiana

$$z = a + jb$$

  • Parte Real: $Re\ z = a$ (Eixo Horizontal)
  • Parte Imaginária: $Im\ z = b$ (Eixo Vertical)

Representação Polar

Coordenadas $r$ e $\theta$

Relacionamento trigonométrico: $$a = r \cos \theta$$ $$b = r \sin \theta$$

A Fórmula de Euler

$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$

Logo, a forma exponencial é: $$\boxed{z = re^{j\theta}}$$

Conversão e Propriedades

Para converter entre $(a, b)$ e $(r, \theta)$:

Módulo: $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Ângulo (Fase): $$\theta = \angle z = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

Inverso: $$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-j\theta} = \frac{1}{|z|}e^{-j \angle z}$$

Exemplo B.1 - Análise de Quadrantes

A matemática tem suas pegadinhas. Cuidado com a calculadora e a posição do ponto.

(a) $2 + j3$ (1º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$
Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{3}{2} \right) = 56,3^\circ$$

A calculadora fornece o valor correto diretamente.

$$\boxed{2 + j3 = \sqrt{13} e^{j56,3^\circ}}$$

Exemplo B.1 - Continuação

(b) $-2 + j1$ (2º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$
Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{1}{-2} \right) = 153,4^\circ$$

A calculadora retornaria $-26,6^\circ$. Ajuste: $(-26,6 + 180)^\circ = 153,4^\circ$.

$$\boxed{-2 + j1 = \sqrt{5} e^{j153,4^\circ}}$$

Exemplo B.1 - Continuação

(c) $-2 - j3$ (3º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$$
Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{-3}{-2} \right) = -123,7^\circ$$

A calculadora forneceria $56,3^\circ$. Ajuste para Valor Principal: subtrair $180^\circ$.

$$\boxed{-2 - j3 = \sqrt{13} e^{-j123,7^\circ}}$$

Exemplo B.1 - Continuação

(d) $1 - j3$ (4º Quadrante)

Módulo: $$|z| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$$
Ângulo: $$\angle z = \tan^{-1} \left( \frac{-3}{1} \right) = -71,6^\circ$$

A calculadora já fornece o valor correto diretamente.

$$\boxed{1 - j3 = \sqrt{10} e^{-j71,6^\circ}}$$
Valor Principal

Em engenharia, use sempre ângulos entre $-180^\circ$ e $+180^\circ$.

Exemplo B.2 - Polar para Cartesiano

Utilizando a fórmula de Euler para expansão.

(a) $2e^{j\pi/3}$

$$\boxed{2e^{j\pi/3} = 2(\cos \pi/3 + j \sin \pi/3) = 1 + j\sqrt{3}}$$

Exemplo B.2 - Polar para Cartesiano

(b) $4e^{-j3\pi/4}$

$$\boxed{4e^{-j3\pi/4} = 4(\cos 3\pi/4 - j \sin 3\pi/4) = -2\sqrt{2} - j2\sqrt{2}}$$

Exemplo B.2 - Casos sobre eixos

(c) $2e^{j\pi/2}$ (Eixo Imaginário Positivo)

$$\boxed{2e^{j\pi/2} = 2(\cos \pi/2 + j \sin \pi/2) = 2(0 + j1) = j2}$$

Exemplo B.2 - Casos sobre eixos

(d) $3e^{-j3\pi}$ (Eixo Real Negativo)

$$\boxed{3e^{-j3\pi} = 3(\cos 3\pi - j \sin 3\pi) = 3(-1 + j0) = -3}$$

Operações Aritméticas

Soma e Subtração

  • Regra: Use a forma Cartesiana.
  • Some/Subtraia partes reais e imaginárias separadamente.
  • Se estiver em polar: converta primeiro.

Multiplicação e Divisão

  • Regra: Use a forma Polar.

Multiplicação: Multiplica módulos, soma ângulos. $$\boxed{z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{j(\theta_1 + \theta_2)}}$$

Divisão: Divide módulos, subtrai ângulos. $$\boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{j(\theta_1 - \theta_2)}}$$

Potenciação e Radiciação

Potenciação

$$\boxed{z^n = r^n e^{jn\theta}}$$

Radiciação e Periodicidade

Existem $n$ raízes distintas para $z^{1/n}$.

$$\boxed{z^{1/n} = r^{1/n} e^{j(\theta + 2\pi k)/n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$

  • $k=0$: Valor principal.

Exemplo B.3 - Comparação de Métodos

Dados: $z_1 = 3 + j4 = 5e^{j53,1^\circ}$ e $z_2 = 2 + j3 = \sqrt{13}e^{j56,3^\circ}$.

Multiplicação:

  • Cartesiana: $(3 + j4)(2 + j3) = (6 - 12) + j(8 + 9) = -6 + j17$

  • Polar: $(5e^{j53,1^\circ})(\sqrt{13}e^{j56,3^\circ}) = 5\sqrt{13}e^{j109,4^\circ}$ (Mais rápido)

Divisão:

  • Cartesiana: Requer conjugado. $\frac{18}{13} - j\frac{1}{13}$

  • Polar: $\frac{5}{\sqrt{13}}e^{j(53,1^\circ - 56,3^\circ)} = \frac{5}{\sqrt{13}}e^{-j3,2^\circ}$ (Mais direto)

Exemplo B.4 - Operações Mistas

Dados: $z_1 = 2e^{j\pi/4}$ e $z_2 = 8e^{j\pi/3}$.

  • (a) Subtração $2z_1 - z_2$
Converter para cartesiano primeiro: $$\boxed{2(\sqrt{2} + j\sqrt{2}) - (4 + j4\sqrt{3}) \approx -1,17 - j4,1}$$
  • (c) Divisão com Potência $z_1/z_2^2$
$$\frac{2e^{j\pi/4}}{64e^{j2\pi/3}} = \frac{1}{32}e^{j(\pi/4 - 2\pi/3)} = \frac{1}{32}e^{-j5\pi/12}$$

Exemplo B.4 - Operações Mistas

  • (d) Raízes Cúbicas de $z_2$
Existem três raízes cúbicas para $8e^{j\pi/3}$. Você as encontra utilizando a fórmula generalizada para $k = 0, 1, 2$:
$$\sqrt[3]{z_2} = [8e^{j(\pi/3 + 2\pi k)}]^{1/3}$$ As raízes são: $$\boxed{2e^{j\pi/9}, \quad 2e^{j7\pi/9}, \quad 2e^{j13\pi/9}}$$
O valor principal (correspondente a $k=0$) é: $$\boxed{2e^{j\pi/9}}$$

Exemplo B.5 - Funções de Frequência

Considere a função: $$X(\omega) = \frac{2 + j\omega}{3 + j4\omega}$$

Exemplo B.5 - Funções de Frequência

  • (a) Determinação da forma Cartesiana e partes real e imaginária
Para que você possa isolar as partes real e imaginária, o primeiro passo é eliminar o termo complexo do denominador. Para isso, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $(3 - j4\omega)$:

$$X(\omega) = \frac{(2 + j\omega)(3 - j4\omega)}{(3 + j4\omega)(3 - j4\omega)} = \frac{(6 + 4\omega^2) - j5\omega}{9 + 16\omega^2}$$

Ao separar os termos, obtemos a forma Cartesiana final: $$\boxed{X(\omega) = \frac{6 + 4\omega^2}{9 + 16\omega^2} - j \frac{5\omega}{9 + 16\omega^2}}$$

A partir dessa expressão, você identifica facilmente as componentes:

Parte Real: $$\boxed{X_r(\omega) = \frac{6 + 4\omega^2}{9 + 16\omega^2}}$$
Parte Imaginária: $$\boxed{X_i(\omega) = \frac{-5\omega}{9 + 16\omega^2}}$$

Exemplo B.5 - Funções de Frequência

  • (b) Determinação da forma polar, módulo e ângulo
Para encontrar a representação polar, você deve converter o numerador e o denominador individualmente e, em seguida, aplicar as regras de divisão de números complexos (dividir os módulos e subtrair os ângulos):

$$X(\omega) = \frac{\sqrt{4 + \omega^2} e^{j \tan^{-1}(\omega/2)}}{\sqrt{9 + 16\omega^2} e^{j \tan^{-1}(4\omega/3)}}$$

A representação polar consolidada resulta em: $$\boxed{X(\omega) = \sqrt{\frac{4 + \omega^2}{9 + 16\omega^2}} e^{j [\tan^{-1}(\omega/2) - \tan^{-1}(4\omega/3)]}}$$

Dessa expressão, extraímos os parâmetros de magnitude e fase:

Módulo: $$\boxed{|X(\omega)| = \sqrt{\frac{4 + \omega^2}{9 + 16\omega^2}}}$$
Ângulo: $$\boxed{\angle X(\omega) = \tan^{-1} \left( \frac{\omega}{2} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{4\omega}{3} \right)}$$

Expansão em Frações Parciais

Ferramenta para decompor Funções Racionais $F(x) = P(x)/Q(x)$.

Classificação

  • Imprópria: Grau Numerador $\geq$ Grau Denominador.
  • Própria: Grau Numerador < Grau Denominador.
Procedimento

Se for imprópria, realize primeiro a divisão polinomial para extrair a parte inteira e restar uma função própria.

Exemplo de divisão: $$F(x) = \frac{2x^3 + 9x^2 + 11x + 2}{x^2 + 4x + 3} = (2x + 1) + \frac{x - 1}{x^2 + 4x + 3}$$

Exemplo B.9 - Método dos Resíduos

Decompor: $$F(x) = \frac{2x^2 + 9x - 11}{(x + 1)(x - 2)(x + 3)}$$

Objetivo: $$F(x) = \frac{k_1}{x + 1} + \frac{k_2}{x - 2} + \frac{k_3}{x + 3}$$

Técnica: "Esconder" o fator correspondente e substituir $x$ pela raiz.

Exemplo B.9 - Resolução

  • $k_1$ (fator $x+1$, raiz $-1$):
$$k_1 = \left. \frac{2x^2 + 9x - 11}{(x - 2)(x + 3)} \right|_{x = -1} = \frac{-18}{-6} = \mathbf{3}$$
  • $k_2$ (fator $x-2$, raiz $2$):
$$k_2 = \left. \frac{2x^2 + 9x - 11}{(x + 1)(x + 3)} \right|_{x = 2} = \frac{15}{15} = \mathbf{1}$$
  • $k_3$ (fator $x+3$, raiz $-3$):
$$k_3 = \left. \frac{2x^2 + 9x - 11}{(x + 1)(x - 2)} \right|_{x = -3} = \frac{-20}{10} = \mathbf{-2}$$

$$\boxed{F(x) = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 3}}$$