Professor: Gabriel Soares Baptista
A conversão A/D transforma amostras em palavras binárias. A TDF relaciona amostras no tempo com amostras em frequência, e a FFT calcula essa mesma TDF com muito menos operações.
| Seção | Tema |
|---|---|
| 8.3 | Conversão Analógico para Digital |
| 8.4 | Amostragem Espectral |
| 8.5 | Cálculo Numérico da Transformada de Fourier: TDF |
| 8.5-1 | Propriedades da TDF |
| 8.5-2 | Aplicações da TDF |
| 8.6 | Transformada Rápida de Fourier |
Um erro comum é dizer que um sinal se torna digital apenas porque foi amostrado.
Se cada amostra ainda pode assumir qualquer valor real entre $-V$ e $V$, quantos símbolos seriam necessários para transmitir essa amostra sem arredondamento?
A conversão A/D combina três etapas:
| Etapa | O que muda | Resultado |
|---|---|---|
| Amostragem | tempo contínuo vira instantes discretos | sequência de amostras |
| Quantização | amplitude contínua vira níveis finitos | amostras arredondadas |
| Codificação | cada nível vira uma palavra binária | sequência de bits |
Se a amplitude está na faixa $(-V,V)$ e usamos $L$ níveis:
$$ \Delta=\frac{2V}{L} $$
No modelo de arredondamento para o nível mais próximo, o erro máximo é:
$$ \frac{\Delta}{2} $$
Se cada nível é representado em binário:
$$ 2^b=L $$
Logo:
$$ b=\log_2 L $$
Um conversor usa $L=256$ níveis. Quantos bits são necessários por amostra?
Usamos:
$$ 2^b=L $$
Como:
$$ 256=2^8 $$
temos:
$$ \boxed{b=8\text{ bits por amostra}} $$
Na modulação por código de pulso, cada amostra quantizada vira uma palavra binária.
Se a taxa de amostragem é $f_s$ e cada amostra usa $b$ bits:
$$ R_b=bf_s $$
Um sinal de voz é amostrado a $8000$ amostras/s e cada amostra usa $8$ bits.
$$ R_b=bf_s $$
Logo:
$$ R_b=8\cdot 8000=64000\text{ bits/s} $$
Portanto:
$$ \boxed{R_b=64\text{ kbits/s}} $$
Um sinal limitado em faixa a $3$ kHz é amostrado $33\%$ acima da taxa de Nyquist.
Taxa de Nyquist:
$$ f_{\text{Nyq}}=2\cdot 3000=6000\text{ Hz} $$
Taxa real:
$$ f_s=6000\cdot \frac{4}{3}=8000\text{ Hz} $$
Se usamos $8$ bits por amostra:
$$ R_b=8\cdot 8000=64000\text{ bits/s} $$
Sinais digitais são robustos porque podem ser regenerados.
Sinal digital não significa ausência de erro. A vantagem é que, abaixo dos limites de decisão, a sequência pode ser regenerada com alta confiabilidade.
Na aula anterior:
Agora aparece o dual:
Se $x(t)$ é limitado no tempo a uma duração $\tau$, seu espectro pode ser reconstruído a partir de amostras em frequência suficientemente próximas.
Para um sinal de duração $\tau$ segundos, o espaçamento entre amostras do espectro deve ser menor que:
$$ \frac{1}{\tau}\text{ Hz} $$
De forma equivalente:
Um sinal é limitado no tempo a $\tau=2$ s. Qual deve ser o maior espaçamento permitido entre amostras de $X(\omega)$?
Pelo teorema de amostragem espectral:
$$ \frac{1}{\tau}=\frac{1}{2}=0{,}5\text{ Hz} $$
Logo, as amostras de frequência devem estar espaçadas por menos de $0{,}5$ Hz.
Um computador não calcula a Transformada de Fourier contínua inteira.
Ele trabalha com:
Essa relação é a TDF.
Se temos $N_0$ amostras em um período, a TDF relaciona duas sequências periódicas de período $N_0$.
A TDF direta é:
$$ X_r=\sum_{n=0}^{N_0-1}x_n e^{-j\frac{2\pi}{N_0}rn} $$
para:
$$ r=0,1,\ldots,N_0-1 $$
A TDF inversa é:
$$ x_n=\frac{1}{N_0}\sum_{r=0}^{N_0-1}X_r e^{j\frac{2\pi}{N_0}rn} $$
para:
$$ n=0,1,\ldots,N_0-1 $$
A TDF é exata para sequências finitas e periódicas.
A aproximação aparece quando interpretamos essas sequências como amostras de sinais contínuos e espectros contínuos.
O cuidado não é desconfiar da TDF. O cuidado é escolher amostragem, duração e resolução de forma coerente com o sinal contínuo que queremos representar.
Para usar a TDF como aproximação da Transformada de Fourier contínua, escolhemos três grandezas:
| Grandeza | Significado | Relação |
|---|---|---|
| $T$ | intervalo de amostragem no tempo | $T=1/f_s$ |
| $T_0$ | duração observada ou período efetivo | $f_0=1/T_0$ |
| $N_0$ | número de amostras | $N_0=T_0/T$ |
Se a largura de faixa essencial é $B$:
$$ f_s\ge 2B $$
ou:
$$ T\le \frac{1}{2B} $$
Se queremos resolução em frequência $f_0$:
$$ T_0=\frac{1}{f_0} $$
Um sinal tem duração de $2$ ms e largura de faixa essencial de $10$ kHz. Deseja-se resolução de $100$ Hz.
Para a resolução:
$$ T_0=\frac{1}{100}=0{,}01\text{ s}=10\text{ ms} $$
Pelo critério de Nyquist:
$$ f_s=2B=20000\text{ Hz} $$
Logo:
$$ N_0=\frac{T_0}{T}=\frac{10\text{ ms}}{50\ \mu\text{s}}=200 $$
Na prática, pode-se escolher $N_0=256$ para facilitar a FFT.
| Cuidado | O que acontece |
|---|---|
| Aliasing | taxa temporal insuficiente contamina o espectro |
| Vazamento | truncamento espalha energia espectral |
| Efeito de cerca | a TDF mostra apenas amostras do espectro |
Preenchimento nulo significa adicionar zeros à sequência antes de calcular a TDF.
Mais pontos no gráfico não significam mais informação física no sinal medido.
As propriedades lembram a Transformada de Fourier, mas com uma diferença importante: as sequências são periódicas de período $N_0$.
| Propriedade | Forma conceitual | Cuidado |
|---|---|---|
| Linearidade | combinação no tempo vira combinação na frequência | mesma intuição de Fourier |
| Simetria de conjugado | sequência real gera espectro conjugado simétrico | basta calcular metade em muitos casos |
| Deslocamento no tempo | deslocamento gera fator de fase | deslocamento circular |
| Deslocamento na frequência | multiplicação desloca o espectro | também circular |
| Convolução periódica | convolução circular vira produto | não é automaticamente convolução linear |
O Lathi destaca três aplicações principais:
Na filtragem:
$$ x_n \xrightarrow{\text{TDF}} X_r $$
Depois multiplicamos por amostras da resposta em frequência $H_r$ e aplicamos a TDF inversa.
A TDF trabalha naturalmente com convolução circular.
Para calcular convolução linear por multiplicação em frequência, precisamos preencher com zeros.
Se as sequências têm comprimentos $N_1$ e $N_2$, o comprimento mínimo é:
$$ N_1+N_2-1 $$
Duas sequências têm comprimentos $N_1=5$ e $N_2=4$.
O tamanho mínimo para calcular a convolução linear por TDF é:
$$ N_1+N_2-1=5+4-1=8 $$
Logo, as sequências devem ser preenchidas com zeros até tamanho $8$ antes de aplicar a TDF.
A FFT não é uma transformada diferente.
Ela é um algoritmo eficiente para calcular a TDF.
| Método | Ordem de operações |
|---|---|
| TDF direta | $N_0^2$ |
| FFT | $N_0\log_2N_0$ |
Compare a ordem de grandeza para $N_0=1024$.
TDF direta:
$$ N_0^2=1024^2=1.048.576 $$
FFT:
$$ N_0\log_2N_0=1024\cdot 10=10.240 $$
O algoritmo clássico de Cooley-Tukey decompõe a TDF em problemas menores.
No caso de decimação no tempo:
Quando $N_0$ é potência de $2$, essa divisão é especialmente simples.
Valores como $128$, $256$, $512$ e $1024$ aparecem com frequência porque facilitam a FFT.
Escolher $N_0$ como potência de $2$ não muda o sinal. Essa escolha facilita o cálculo e costuma ser combinada com preenchimento nulo quando necessário.