❧ Prática com Transformada de Fourier Contínua ❧

Você encontra o sinal $x(t)=e^{-a|t|}$ em um exercício. Vale mais a pena começar pela integral da definição ou por uma reescrita do sinal?

Vale mais a pena começar pela reescrita. O motivo é que o módulo no expoente costuma dificultar a integral direta, mas a forma do sinal sugere imediatamente uma decomposição em duas partes causais conhecidas:

$$ e^{-a|t|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t) $$

Depois dessa reescrita, o problema cai diretamente nas Regras 6 e 7 da tabela, e a solução fica muito mais curta e mais organizada. Esse é um ótimo exemplo de como a etapa mais importante de um exercício pode acontecer antes de qualquer cálculo de fato.

Sem calcular a transformada por completo, o que você já pode afirmar sobre o espectro de $x(t)=e^{-a|t|}$ com $a>0$?

Esse sinal é real e par. Portanto, antes de qualquer conta, já sabemos que seu espectro deve ser real e par. Isso é extremamente útil porque, quando fizermos a manipulação com as Regras 6 e 7, o resultado esperado não será uma expressão complexa com parte imaginária residual. Se aparecer algo assim no fim, isso já indica que houve erro em algum passo intermediário.

Determine a transformada de Fourier de $x(t)=\cos(\omega_0 t)$ usando a tabela.

1. Reescrita do sinal

Aqui o caminho mais curto é reescrever o cosseno pela identidade de Euler:

$$ \cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}e^{j\omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j\omega_0 t} $$

2. Aplicação da tabela

Agora entramos diretamente nas Regras 3 e 4 da tabela e aplicamos a Propriedade P1 de linearidade:

$$ X(\omega)=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\delta(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2}\cdot 2\pi\delta(\omega+\omega_0) $$

3. Resultado final

Logo,

$$ \boxed{\cos(\omega_0 t)\iff \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]} $$

Esse exemplo é importante porque mostra que um sinal muito familiar no tempo se torna duas linhas espectrais isoladas em frequência. É também um bom lembrete de que a reescrita correta costuma simplificar todo o problema.

Determine a transformada de Fourier de

$$ x(t)=3e^{-at}u(t)-2e^{at}u(-t), \quad a>0 $$

usando diretamente a tabela e a propriedade de linearidade.

1. Reconhecimento dos blocos básicos

O sinal já aparece como combinação linear de dois blocos conhecidos. Não é necessário reescrevê-lo. Basta reconhecer que temos um termo do tipo $e^{-at}u(t)$ e outro do tipo $e^{at}u(-t)$.

2. Aplicação das regras básicas

Pelas Regras 6 e 7,

$$ e^{-at}u(t)\iff \frac{1}{a+j\omega} $$

e

$$ e^{at}u(-t)\iff \frac{1}{a-j\omega} $$

3. Aplicação dos coeficientes e da linearidade

Agora aplicamos a Propriedade P1. Como o primeiro termo está multiplicado por $3$ e o segundo por $-2$, obtemos

$$ X(\omega)=3\left(\frac{1}{a+j\omega}\right)-2\left(\frac{1}{a-j\omega}\right) $$

4. Simplificação algébrica

Se quisermos reunir tudo em uma única fração,

$$ X(\omega)=\frac{3(a-j\omega)-2(a+j\omega)}{(a+j\omega)(a-j\omega)} $$

$$ X(\omega)=\frac{a-5j\omega}{a^2+\omega^2} $$

5. Resultado final

Portanto,

$$ \boxed{3e^{-at}u(t)-2e^{at}u(-t)\iff \frac{3}{a+j\omega}-\frac{2}{a-j\omega}} $$

ou, de forma equivalente,

$$ \boxed{X(\omega)=\frac{a-5j\omega}{a^2+\omega^2}} $$

Este exemplo é útil porque mostra um caso em que a principal habilidade não é decompor o sinal, mas perceber que ele já está pronto para a tabela. O trabalho, então, fica concentrado em aplicar corretamente os coeficientes e organizar a álgebra com cuidado.

Determine a transformada de Fourier de $x(t)=\operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)$ e explique o que muda no espectro.

1. Reconhecimento do sinal-base

Começamos pelo pulso retangular sem atraso. Pela Regra 9,

$$ \operatorname{ret}(t/\tau)\iff \tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2) $$

2. Aplicação do atraso temporal

Agora observamos que o sinal pedido é exatamente esse pulso atrasado de $t_0$ segundos. Então usamos a Propriedade P4:

$$ \operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)\iff e^{-j\omega t_0}\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2) $$

3. Resultado final

Portanto,

$$ \boxed{\operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)\iff e^{-j\omega t_0}\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2)} $$

4. Interpretação do resultado

O módulo do espectro continua o mesmo do pulso não deslocado. O que muda é a fase, que recebe o fator linear $e^{-j\omega t_0}$. Isso ilustra muito bem a ideia de que atraso no tempo mexe com fase, não com a distribuição de amplitudes espectrais.

Obtenha um par útil por dualidade a partir da tabela. Parta de

$$ \frac{\sin(Wt)}{\pi t}\iff \operatorname{ret}(\omega/2W) $$

e explique o que a dualidade produz.

1. Par de partida

Pela Regra 11, já temos o par

$$ \frac{\sin(Wt)}{\pi t}\iff \operatorname{ret}(\omega/2W) $$

2. Aplicação da dualidade

Agora aplicamos a Propriedade P13 de dualidade. Se $x(t)\iff X(\omega)$, então $X(t)\iff 2\pi x(-\omega)$. Como a função retangular é par, a troca de sinal não altera sua forma. Logo, obtemos um novo par útil sem recalcular integrais:

$$ \operatorname{ret}(t/2W)\iff 2\pi\frac{\sin(W\omega)}{\pi\omega} $$

3. Leitura do resultado

Esse resultado pode ser reorganizado para a convenção da disciplina e conectado naturalmente à Regra 12. O valor deste exemplo não está só no resultado final, mas no fato de que um par novo nasceu de um par conhecido por raciocínio estrutural, não por integração direta.

1. No espectro discreto, o sinal é descrito por um conjunto isolado de frequências. No espectro contínuo, a informação espectral ocupa um intervalo contínuo. Essa diferença acompanha a diferença entre sinais periódicos e não periódicos.

2. Quando o eixo imaginário pertence à região de convergência da transformada de Laplace. Sem essa condição, a substituição $s=j\omega$ não pode ser usada como passagem algébrica automática para Fourier.

3.

4. O espectro deve ser real e par. Essa previsão ajuda porque qualquer resultado final com paridade errada ou com parte imaginária não esperada já indica erro algébrico ou uso incorreto da tabela.

5. Reescrevemos o cosseno pela identidade de Euler e usamos as Regras 3 e 4 com P1:

$$ \cos(\omega_0 t)\iff \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] $$

6. Reescrevemos

$$ e^{-a|t|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t) $$

Depois aplicamos as Regras 6 e 7 e a linearidade:

$$ e^{-a|t|}\iff \frac{2a}{a^2+\omega^2} $$

7. Pela tabela e por P1,

$$ X(\omega)=\frac{3}{a+j\omega}-\frac{2}{a-j\omega} $$

Se quiser, a resposta pode ser deixada nessa forma ou colocada sobre denominador comum.

8. Pela Regra 9 e por P4,

$$ \operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)\iff e^{-j\omega t_0}\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2) $$

O módulo não muda. A fase recebe um termo linear em $\omega$.

9. Não. O atraso no tempo não desloca o módulo do espectro em frequência. Ele preserva o módulo e altera a fase por meio do fator $e^{-j\omega t_0}$.

10. Pela Regra 9,

$$ \operatorname{ret}(t/4)\iff 4\operatorname{sinc}(2\omega) $$

Para $x(2t)$ usamos P3. O sinal é comprimido no tempo, então o espectro se expande em frequência e ganha o fator $1/2$ correspondente.

11. Pela Regra 8, pela Regra 6 e por P1,

$$ X(\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2}+\frac{1}{a+j\omega} $$

12. A dualidade permite trocar os papéis de tempo e frequência, com o ajuste do fator $2\pi$ e da inversão de sinal. Assim, um par conhecido gera outro par sem necessidade de recalcular a integral direta.

13.

• $e^{-a|t|}$ -> B
• $\operatorname{ret}((t-t_0)/\tau)$ -> C
• $\dfrac{\sin(Wt)}{\pi t}$ -> D ou uso direto da regra já conhecida
• $e^{-at}u(t)$ -> A ou uso direto da regra 6, sendo a melhor leitura prática “usar a regra pronta”

14.

15. Pela Regra 8, pela Regra 9 e por P1,

$$ X(\omega)=\frac{2a}{a^2+\omega^2}+2\operatorname{sinc}(\omega) $$

16. A verificação é a relação entre paridade e natureza do sinal. Se o sinal é real e par, o espectro deve ser real e par. Se a resposta encontrada não respeita isso, há erro.

17.

• ( V ) Se um sinal é real, então $|X(\omega)|$ deve ser par.
• ( F ) A propriedade de escalamento mostra que comprimir um sinal no tempo comprime também o espectro.
• ( V ) A dualidade pode gerar novos pares a partir de pares já conhecidos.
• ( F ) Um atraso temporal afeta diretamente o módulo do espectro mais do que a fase.