❧ Convolução ❧

Vamos determinar a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema descrito pela equação diferencial:

$$(D^2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t)$$

Podemos reescrever essa equação em sua forma diferencial explícita para facilitar a visualização:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y(t) = \frac{dx}{dt} + x(t).$$

Ideia geral do método

Você deve lembrar que a resposta ao impulso $h(t)$ é, por definição, a saída $y(t)$ do sistema quando a entrada $x(t)$ é um impulso unitário $\delta(t)$.

O nosso objetivo é encontrar uma solução que satisfaça a equação diferencial para essa entrada específica. Como sistemas físicos causais só respondem após o estímulo, sabemos que $h(t) = 0$ para $t < 0$. Para $t > 0$, a resposta será governada pela dinâmica natural do sistema. O desafio principal aqui é descobrir como o impulso "dispara" as condições iniciais em $t=0$.

Passo 1: Encontrar a forma funcional de $h(t)$ para $t>0$

Para $t > 0$, o impulso de entrada já ocorreu (em $t=0$) e é nulo. Portanto, a equação que descreve o sistema torna-se a equação homogênea:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y(t) = 0.$$

Para resolvermos essa equação, propomos uma solução exponencial do tipo $y(t) = e^{\lambda t}$. Substituindo na equação diferencial, encontramos a equação característica:

$$ \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0. $$

Fatorando o polinômio, temos:

$$ (\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0. $$

As raízes são $\lambda_1 = -2$ e $\lambda_2 = -3$. Isso nos diz que a solução terá a forma de uma combinação linear dessas exponenciais. Vamos definir uma função auxiliar $f(t)$ que representa essa forma:

$$ f(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t} $$

A nossa resposta ao impulso completa, válida para todo o tempo, será essa função "ligada" a partir de zero pelo degrau unitário:

$$ h(t) = f(t)u(t) $$

Nosso trabalho agora se resume a encontrar as constantes $c_1$ e $c_2$.

Passo 2: Calcular as derivadas da resposta ao impulso

Como a equação diferencial envolve a primeira e a segunda derivada de $y(t)$, precisamos derivar nossa expressão candidata $h(t) = f(t)u(t)$.

Primeira derivada $\dot{h}(t)$: $$ \dot{h}(t) = \frac{d}{dt}[f(t)u(t)] = \dot{f}(t)u(t) + f(t)\dot{u}(t) $$ $$ \dot{h}(t) = \dot{f}(t)u(t) + f(t)\delta(t) $$ Pela propriedade da amostragem, $f(t)\delta(t)$ vira $f(0)\delta(t)$: $$ \dot{h}(t) = \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t) $$

Segunda derivada $\ddot{h}(t)$: Derivamos a expressão acima novamente: $$ \ddot{h}(t) = \frac{d}{dt}[\dot{f}(t)u(t)] + \frac{d}{dt}[f(0)\delta(t)] $$ $$ \ddot{h}(t) = \left[ \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(t)\delta(t) \right] + f(0)\dot{\delta}(t) $$ Aplicando a amostragem novamente em $\dot{f}(t)\delta(t)$: $$ \ddot{h}(t) = \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t) $$

Guarde bem essas expressões das derivadas, pois elas contêm os termos impulsivos ($\delta$) e de doublet ($\dot{\delta}$) que precisamos balancear.

Passo 3: Substituição na equação diferencial e balanceamento

Agora, vamos substituir $y(t)$ por $h(t)$ e $x(t)$ por $\delta(t)$ na equação original:

$$ \ddot{h}(t) + 5\dot{h}(t) + 6h(t) = \dot{\delta}(t) + \delta(t) $$

Substituindo as expressões que encontramos no Passo 2 no lado esquerdo (LHS):

$$ \begin{aligned} \text{LHS} = \;& \big[ \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t) \big] \\ +\;& 5\big[ \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t) \big] \\ +\;& 6\big[ f(t)u(t) \big] \end{aligned} $$

Vamos agrupar os termos por tipo: os que multiplicam $u(t)$, os que multiplicam $\delta(t)$ e os que multiplicam $\dot{\delta}(t)$.

1. Termos com $u(t)$: $$[\ddot{f}(t) + 5\dot{f}(t) + 6f(t)]u(t)$$ Observe que o termo entre colchetes é exatamente a equação homogênea que resolvemos no Passo 1. Portanto, toda essa parte é igual a zero.

2. Termos Singulares (Sobras): O que sobra no lado esquerdo deve ser igual ao lado direito da equação ($\dot{\delta}(t) + \delta(t)$).

   Vamos escrever a equação de balanço apenas com o que sobrou:

   $$ \underbrace{f(0)\dot{\delta}(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + 5f(0)\delta(t)}_{\text{Sobras do lado esquerdo}} = \underbrace{\dot{\delta}(t) + \delta(t)}_{\text{Lado direito (Entrada)}} $$

   Agora, vamos agrupar os coeficientes de $\dot{\delta}(t)$ e $\delta(t)$ no lado esquerdo para facilitar a comparação:

   $$ \big[ f(0) \big] \dot{\delta}(t) + \big[ \dot{f}(0) + 5f(0) \big] \delta(t) = \big[ 1 \big] \dot{\delta}(t) + \big[ 1 \big] \delta(t) $$

   Comparando os coeficientes:

   Para que a igualdade seja verdadeira, o que multiplica $\dot{\delta}(t)$ de um lado deve ser igual ao que multiplica do outro, e o mesmo vale para $\delta(t)$.

   • Comparando $\dot{\delta}(t)$: $$f(0) = 1$$

   • Comparando $\delta(t)$: $$\dot{f}(0) + 5f(0) = 1$$

   Como já sabemos que $f(0)=1$, substituímos na segunda equação: $$ \dot{f}(0) + 5(1) = 1 \implies \dot{f}(0) = -4 $$

   Acabamos de descobrir as condições iniciais que $f(t)$ deve satisfazer: $$f(0) = 1 \quad \text{e} \quad \dot{f}(0) = -4$$

Passo 4: Resolver o sistema para $c_1$ e $c_2$

Voltamos à definição de $f(t)$ e sua derivada para aplicar as condições que acabamos de encontrar:

$$ \begin{aligned} f(t) &= c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t} \\ \dot{f}(t) &= -2c_1 e^{-2t} - 3c_2 e^{-3t} \end{aligned} $$

Aplicando $t=0$:

1. $f(0) = c_1 + c_2 = 1$
2. $\dot{f}(0) = -2c_1 - 3c_2 = -4$

Agora temos um sistema linear simples: $$ \begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \implies c_1 = 1 - c_2 \\ -2c_1 - 3c_2 = -4 \end{cases} $$

Substituindo a primeira na segunda: $$ -2(1 - c_2) - 3c_2 = -4 $$ $$ -2 + 2c_2 - 3c_2 = -4 $$ $$ -c_2 = -2 \implies \boxed{c_2 = 2} $$

Voltando para achar $c_1$: $$ c_1 = 1 - 2 \implies \boxed{c_1 = -1} $$

Passo 5: Expressão final

Com as constantes determinadas, podemos escrever a expressão final para $h(t)$. Substituímos $c_1$ e $c_2$ na expressão de $f(t)$ e multiplicamos pelo degrau unitário:

$$ \boxed{h(t) = (-e^{-2t} + 2e^{-3t})u(t)} $$

Esta é a resposta ao impulso do sistema.

Vamos determinar a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema LCIT:

$$(D + 2)y(t) = (3D + 5)x(t)$$

Ou na forma diferencial:

$$\frac{dy}{dt} + 2y(t) = 3\frac{dx}{dt} + 5x(t)$$

Ideia geral do método

Queremos encontrar a saída $y(t)$ quando a entrada $x(t)$ é um impulso $\delta(t)$. Porém, antes de propor a solução, precisamos olhar para as ordens das derivadas.

Passo 1: Encontrar a forma funcional de $h(t)$

Para $t > 0$ (solução homogênea), temos a equação característica $\lambda + 2 = 0 \to \lambda = -2$. A resposta natural é $y_n(t) = K e^{-2t}$.

Devido à regra acima ($N=M$), a resposta completa deve ser a soma do impulso com a resposta natural:

$$ h(t) = A\delta(t) + y_n(t)u(t) $$

Nosso objetivo é achar $A$ e $K$.

Passo 2: Calcular a derivada da resposta ao impulso

Derivamos $h(t)$ usando a regra do produto e a propriedade da amostragem ($g(t)\delta(t) = g(0)\delta(t)$):

$$ h(t) = A\delta(t) + y_n(t)u(t) $$

Primeira derivada $\dot{h}(t)$: $$ \dot{h}(t) = A\dot{\delta}(t) + \dot{y}_n(t)u(t) + y_n(0)\delta(t) $$

Passo 3: Substituição e Equilíbrio de Singularidades

Substituímos na equação original $\dot{h}(t) + 2h(t) = 3\dot{\delta}(t) + 5\delta(t)$:

$$ \underbrace{[A\dot{\delta}(t) + \dot{y}_n(t)u(t) + y_n(0)\delta(t)]}_{\dot{h}(t)} + 2\underbrace{[A\delta(t) + y_n(t)u(t)]}_{h(t)} = 3\dot{\delta}(t) + 5\delta(t) $$

Agrupando os termos por tipo ($\dot{\delta}$, $\delta$ e $u$):

1. Termos com $u(t)$: $[\dot{y}_n(t) + 2y_n(t)]u(t) = 0$ (pois é a solução homogênea).
2. Termos Singulares: $$ A\dot{\delta}(t) + [y_n(0) + 2A]\delta(t) = 3\dot{\delta}(t) + 5\delta(t) $$

Comparando os lados:

• Para $\dot{\delta}(t)$: $$A = 3$$

• Para $\delta(t)$: $$y_n(0) + 2A = 5$$ Substituindo $A=3$: $$y_n(0) + 6 = 5 \implies y_n(0) = -1$$

Temos então: $A=3$ e a condição inicial $y_n(0)=-1$.

Passo 4: Determinar a constante $K$

A parte natural é $y_n(t) = K e^{-2t}$. Em $t=0$, temos $y_n(0) = K$.

Como encontramos que $y_n(0) = -1$, então $K = -1$. Logo, $y_n(t) = -e^{-2t}$.

Passo 5: Expressão final

Montamos a resposta final com $A=3$ e a função exponencial:

$$ \boxed{h(t) = 3\delta(t) - e^{-2t}u(t)} $$

Vamos determinar a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema descrito pela equação:

$$D(D + 2)y(t) = (D + 4)x(t)$$

Primeiro, expandimos os operadores para visualizar a equação diferencial completa:

$$(D^2 + 2D)y(t) = (D + 4)x(t)$$

Transformando para a notação de derivadas temporais:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt} + 4x(t)$$

Análise Preliminar: A Regra das Ordens

Antes de começar, vamos observar as ordens das derivadas ($N$ e $M$):

• Ordem da Saída ($N$): 2 (devido ao termo $\frac{d^2y}{dt^2}$).
• Ordem da Entrada ($M$): 1 (devido ao termo $\frac{dx}{dt}$).

Como $N > M$ ($2 > 1$), este sistema possui "inércia". Isso significa que a entrada não consegue "vazar" instantaneamente para a saída. Portanto, não teremos um termo $A\delta(t)$ isolado na resposta final. A resposta ao impulso será composta apenas por termos exponenciais que começam em $t=0$.

Passo 1: Encontrar a forma funcional de $h(t)$ para $t>0$

Para $t > 0$, a entrada $x(t) = \delta(t)$ já passou e vale zero. Resolvemos a equação homogênea:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} = 0$$

A equação característica é:

$$\lambda^2 + 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda + 2) = 0$$

As raízes são:

• $\lambda_1 = 0$
• $\lambda_2 = -2$

A forma da solução natural $f(t)$ será uma combinação linear dessas exponenciais:

$$f(t) = c_1 e^{0t} + c_2 e^{-2t} \implies f(t) = c_1 + c_2 e^{-2t}$$

Nossa resposta ao impulso completa será: $$h(t) = f(t)u(t) = (c_1 + c_2 e^{-2t})u(t)$$

Passo 2: Calcular as derivadas da resposta ao impulso

Como a equação é de segunda ordem, precisamos das duas primeiras derivadas de $h(t) = f(t)u(t)$.

Primeira derivada $\dot{h}(t)$: $$\dot{h}(t) = \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t)$$

Segunda derivada $\ddot{h}(t)$: $$\ddot{h}(t) = \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t)$$

Passo 3: Substituição e Balanceamento de Singularidades

Agora, substituímos $h(t)$ e suas derivadas na equação diferencial original, lembrando que no lado direito temos a entrada $x(t) = \delta(t)$:

$$\ddot{h}(t) + 2\dot{h}(t) = \dot{\delta}(t) + 4\delta(t)$$

Substituindo as expressões do Passo 2 no lado esquerdo (LHS):

$$ \begin{aligned} \text{LHS} = \;& \big[ \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t) \big] \\ +\;& 2\big[ \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t) \big] \end{aligned} $$

Agrupando os termos:

1. Termos com $u(t)$: $[\ddot{f}(t) + 2\dot{f}(t)]u(t) = 0$ (Cai na equação homogênea).

2. Termos Singulares (Balanceamento): O que sobrou deve ser igual ao lado direito da entrada ($\dot{\delta}(t) + 4\delta(t)$):

   $$f(0)\dot{\delta}(t) + [\dot{f}(0) + 2f(0)]\delta(t) = 1\dot{\delta}(t) + 4\delta(t)$$

Comparando os coeficientes:

• Para $\dot{\delta}(t)$: $$f(0) = 1$$

• Para $\delta(t)$: $$\dot{f}(0) + 2f(0) = 4$$ Substituindo $f(0) = 1$: $$\dot{f}(0) + 2(1) = 4 \implies \dot{f}(0) = 2$$

As condições iniciais para nossa função $f(t)$ são $f(0) = 1$ e $\dot{f}(0) = 2$.

Passo 4: Resolver o sistema para $c_1$ e $c_2$

Usamos as condições encontradas na nossa expressão de $f(t)$:

$$f(t) = c_1 + c_2 e^{-2t}$$ $$\dot{f}(t) = -2c_2 e^{-2t}$$

1. Aplicando $f(0) = 1$: $$c_1 + c_2 = 1$$

2. Aplicando $\dot{f}(0) = 2$: $$-2c_2 = 2 \implies \boxed{c_2 = -1}$$

Substituindo $c_2$ na primeira equação: $$c_1 + (-1) = 1 \implies \boxed{c_1 = 2}$$

Passo 5: Expressão final

Substituímos as constantes $c_1$ e $c_2$ na forma funcional do Passo 1:

$$f(t) = 2 - 1e^{-2t}$$

Multiplicando pelo degrau unitário para indicar que o sistema é causal ($h(t)=0$ para $t<0$):

$$\boxed{h(t) = (2 - e^{-2t})u(t)}$$

Este resultado bate exatamente com a resposta fornecida no gabarito da imagem.

Vamos determinar a resposta ao impulso $h(t)$ para o sistema descrito pela equação:

$$(D^2 + 2D + 1)y(t) = Dx(t)$$

Transformando para a notação de derivadas temporais:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + y(t) = \frac{dx}{dt}$$

Análise Preliminar: A Regra das Ordens

• Ordem da Saída ($N$): 2
• Ordem da Entrada ($M$): 1

Como $N > M$, o sistema possui inércia suficiente para "suavizar" o impacto imediato do impulso. Portanto, não teremos o termo $A\delta(t)$. A resposta $h(t)$ começará do zero (ou de um valor finito) e evoluirá conforme a dinâmica natural.

Passo 1: Encontrar a forma funcional de $h(t)$ (Raízes Repetidas)

Para $t > 0$, resolvemos a equação homogênea:

$$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + y(t) = 0$$

A equação característica é: $$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0 \implies (\lambda + 1)^2 = 0$$

Temos uma raiz real repetida: $\lambda_1 = \lambda_2 = -1$.

Nossa resposta ao impulso completa será: $$h(t) = (c_1 + c_2 t)e^{-t}u(t)$$

Passo 2: Calcular as derivadas da resposta ao impulso

Usaremos as fórmulas padrão para as derivadas de $h(t) = f(t)u(t)$:

Primeira derivada $\dot{h}(t)$: $$\dot{h}(t) = \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t)$$

Segunda derivada $\ddot{h}(t)$: $$\ddot{h}(t) = \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t)$$

Passo 3: Substituição e Balanceamento de Singularidades

Substituímos na equação original, onde a entrada é $x(t) = \delta(t)$, logo o lado direito é $\dot{\delta}(t)$:

$$\ddot{h}(t) + 2\dot{h}(t) + h(t) = \dot{\delta}(t)$$

Substituindo as expressões das derivadas:

$$ \begin{aligned} \text{LHS} = \;& \big[ \ddot{f}(t)u(t) + \dot{f}(0)\delta(t) + f(0)\dot{\delta}(t) \big] \\ +\;& 2\big[ \dot{f}(t)u(t) + f(0)\delta(t) \big] \\ +\;& \big[ f(t)u(t) \big] \end{aligned} $$

Agrupando os termos:

1. Termos com $u(t)$: $[\ddot{f}(t) + 2\dot{f}(t) + f(t)]u(t) = 0$ (Solução homogênea).
2. Termos Singulares: $$f(0)\dot{\delta}(t) + [\dot{f}(0) + 2f(0)]\delta(t) = 1\dot{\delta}(t) + 0\delta(t)$$

Comparando os coeficientes:

• Para $\dot{\delta}(t)$: $$f(0) = 1$$

• Para $\delta(t)$: $$\dot{f}(0) + 2f(0) = 0$$ Substituindo $f(0) = 1$: $$\dot{f}(0) + 2(1) = 0 \implies \dot{f}(0) = -2$$

As condições iniciais para $f(t)$ são $f(0) = 1$ e $\dot{f}(0) = -2$.

Passo 4: Resolver o sistema para $c_1$ e $c_2$

Temos a função e sua derivada (usando a regra do produto): $$f(t) = (c_1 + c_2 t)e^{-t}$$ $$\dot{f}(t) = c_2 e^{-t} - (c_1 + c_2 t)e^{-t}$$

1. Aplicando $f(0) = 1$: $$(c_1 + c_2 \cdot 0)e^{0} = 1 \implies \boxed{c_1 = 1}$$

2. Aplicando $\dot{f}(0) = -2$: $$c_2 e^{0} - (c_1 + c_2 \cdot 0)e^{0} = -2$$ $$c_2 - c_1 = -2$$ Substituindo $c_1 = 1$: $$c_2 - 1 = -2 \implies \boxed{c_2 = -1}$$

Passo 5: Expressão final

Substituímos $c_1 = 1$ e $c_2 = -1$ na forma original:

$$f(t) = (1 - 1t)e^{-t} = (1 - t)e^{-t}$$

Adicionando o degrau unitário:

$$\boxed{h(t) = (1 - t)e^{-t}u(t)}$$

Este resultado coincide exatamente com a alternativa (c) do seu exercício.

Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitário dada por

$$h(t) = e^{-2t}u(t),$$

determine a resposta $y(t)$ para a entrada

$$x(t) = e^{-t}u(t).$$

Ideia geral do método

Como o sistema é LCIT, a saída é dada pela convolução entre a entrada e a resposta ao impulso:

$$ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau. $$

Passo 1: Substituição direta das funções

Temos:

$$ x(\tau) = e^{-\tau}u(\tau), \qquad h(t-\tau) = e^{-2(t-\tau)}u(t-\tau). $$

Logo, o integrando da convolução é:

$$ x(\tau)h(t-\tau) = e^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}u(\tau)u(t-\tau). $$

Passo 2: Determinação dos limites de integração

A presença de $u(\tau)$ e $u(t-\tau)$ impõe as condições:

$$ \tau \ge 0 \quad \text{e} \quad t-\tau \ge 0 \;\Rightarrow\; \tau \le t. $$

Portanto, a região válida de integração é:

$$ 0 \le \tau \le t, $$

e a convolução fica:

$$ y(t) = \int_{0}^{t} e^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}\,d\tau, \qquad t \ge 0. $$

Passo 3: Simplificação do integrando

Separando os termos dependentes de $t$:

$$ e^{-\tau}e^{-2(t-\tau)} = e^{-2t}e^{\tau}. $$

Assim,

$$ y(t) = e^{-2t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau, \qquad t \ge 0. $$

Passo 4: Cálculo da integral

Calculando a integral:

$$ \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t} - 1. $$

Substituindo:

$$ y(t) = e^{-2t}(e^{t} - 1) = e^{-t} - e^{-2t}, \qquad t \ge 0. $$

Passo 5: Inclusão da causalidade

Como o sistema é causal, a saída é nula para $t<0$. Logo:

$$ \boxed{ y(t) = \big(e^{-t} - e^{-2t}\big)u(t) } $$

Essa é a resposta do sistema à entrada $x(t)=e^{-t}u(t)$.

Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitário dada por

$$h(t) = 6e^{-t}u(t),$$

determine a resposta do sistema para a entrada

$$x(t) = 2u(t).$$

Ideia geral do método

Como o sistema é linear, causal e invariante no tempo (LCIT), a saída é dada pela convolução:

$$ y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau. $$

Passo 1: Substituição direta das funções

Temos:

$$ x(\tau) = 2u(\tau), \qquad h(t-\tau) = 6e^{-(t-\tau)}u(t-\tau). $$

Logo, o integrando fica:

$$ x(\tau)h(t-\tau) = 12e^{-(t-\tau)}u(\tau)u(t-\tau). $$

Passo 2: Determinação dos limites de integração

As funções degrau impõem:

$$ \tau \ge 0 \quad \text{e} \quad t-\tau \ge 0 \;\Rightarrow\; 0 \le \tau \le t. $$

Portanto:

$$ y(t) = \int_{0}^{t} 12e^{-(t-\tau)}\,d\tau, \qquad t \ge 0. $$

Passo 3: Simplificação da integral

Colocando os termos que não dependem de $\tau$ em evidência:

$$ y(t) = 12e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau, \qquad t \ge 0. $$

Passo 4: Cálculo da integral

$$ \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t} - 1. $$

Substituindo:

$$ y(t) = 12e^{-t}(e^{t}-1) = 12(1 - e^{-t}), \qquad t \ge 0. $$

Passo 5: Inclusão da causalidade

Como o sistema é causal, $y(t)=0$ para $t<0$. Logo:

$$ \boxed{ y(t) = 12(1 - e^{-t})u(t) } $$

Essa é a resposta do sistema para a entrada $x(t)=2u(t)$.

Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitário dada por

$$h(t) = 6e^{-t}u(t),$$

determine a resposta do sistema para a entrada

$$x(t) = 3e^{-3t}u(t).$$

Ideia geral do método

Como o sistema é LCIT, a saída é dada pela convolução:

$$ y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau. $$

Passo 1: Substituição direta das funções

$$ x(\tau) = 3e^{-3\tau}u(\tau), \qquad h(t-\tau) = 6e^{-(t-\tau)}u(t-\tau). $$

Logo, o integrando é:

$$ x(\tau)h(t-\tau) = 18e^{-3\tau}e^{-(t-\tau)}u(\tau)u(t-\tau). $$

Passo 2: Determinação dos limites de integração

As funções degrau impõem:

$$ 0 \le \tau \le t. $$

Portanto:

$$ y(t) = \int_{0}^{t} 18e^{-3\tau}e^{-(t-\tau)}\,d\tau, \qquad t \ge 0. $$

Passo 3: Simplificação do integrando

$$ 18e^{-3\tau}e^{-(t-\tau)} = 18e^{-t}e^{-2\tau}. $$

Logo:

$$ y(t) = 18e^{-t}\int_{0}^{t} e^{-2\tau}\,d\tau, \qquad t \ge 0. $$

Passo 4: Cálculo da integral

$$ \int_{0}^{t} e^{-2\tau}\,d\tau = \left[-\frac{1}{2}e^{-2\tau}\right]_{0}^{t} = \frac{1}{2}(1 - e^{-2t}). $$

Substituindo:

$$ y(t) = 18e^{-t}\cdot \frac{1}{2}(1 - e^{-2t}) = 9e^{-t}(1 - e^{-2t}). $$

Expandindo:

$$ y(t) = 9(e^{-t} - e^{-3t}), \qquad t \ge 0. $$

Passo 5: Inclusão da causalidade

Como o sistema é causal:

$$ \boxed{ y(t) = 9\big(e^{-t} - e^{-3t}\big)u(t) } $$

Essa é a resposta do sistema para a entrada $x(t)=3e^{-3t}u(t)$.