Introdução10.1
Hoje veremos como a amostragem se transforma em processamento digital de fato: primeiro convertendo amplitudes contínuas em códigos binários, depois relacionando amostras de $x(t)$ com amostras de $X(\omega)$.
Na aula anterior, a pergunta central era quando as amostras preservam a informação do sinal. Agora a pergunta muda. Depois de amostrar, como representamos essas amostras em bits e como calculamos Fourier com uma quantidade finita de números?
O roteiro desta aula segue o sumário do Capítulo 8 do Lathi nas seções restantes do capítulo:
| Seção | Tema |
|---|---|
| 8.3 | Conversão Analógico para Digital |
| 8.4 | Dual da Amostragem no Tempo: Amostragem Espectral |
| 8.5 | Cálculo Numérico da Transformada de Fourier: TDF |
| 8.5-1 | Algumas Propriedades da TDF |
| 8.5-2 | Algumas Aplicações da TDF |
| 8.6 | Transformada Rápida de Fourier |
A amostragem cria uma sequência de valores no tempo. A conversão A/D transforma esses valores em palavras binárias. A TDF relaciona uma quantidade finita de amostras no tempo com uma quantidade finita de amostras em frequência, e a FFT calcula essa mesma TDF com muito menos operações.
Amostrar ainda não é digitalizar10.2
Um erro comum é dizer que um sinal se torna digital apenas porque foi amostrado. Isso não é suficiente.
Depois da amostragem, o tempo passa a ser discreto, mas a amplitude de cada amostra ainda pode assumir infinitos valores em uma faixa contínua. Para obter um sinal digital, precisamos também quantizar a amplitude.
Se cada amostra ainda pode assumir qualquer valor real entre $-V$ e $V$, quantos símbolos seriam necessários para transmitir essa amostra sem arredondamento?
Seriam infinitos símbolos. É por isso que a conversão A/D precisa de quantização. Ela troca uma amplitude contínua por um dos níveis permitidos.
Conversão Analógico para Digital10.3
A conversão A/D envolve três ideias encadeadas:
| Etapa | O que muda | Resultado |
|---|---|---|
| Amostragem | tempo contínuo vira instantes discretos | sequência de amostras |
| Quantização | amplitude contínua vira níveis finitos | amostras arredondadas |
| Codificação | cada nível vira uma palavra binária | sequência de bits |
Se a amplitude do sinal está na faixa $(-V,V)$ e usamos $L$ níveis de quantização, o passo de quantização é
$$ \Delta=\frac{2V}{L} $$
O erro máximo de quantização, no modelo de arredondamento para o nível mais próximo, é
$$ \frac{\Delta}{2} $$
Se cada amostra quantizada deve ser representada em binário, precisamos de $b$ bits por amostra, com
$$ 2^b=L $$
ou
$$ b=\log_2 L $$
Um conversor usa $L=256$ níveis de quantização. Quantos bits são necessários para representar cada amostra?
Usamos
$$ 2^b=L $$
Logo,
$$ 2^b=256=2^8 $$
Portanto,
$$ b=8\text{ bits por amostra} $$
Esse é o mesmo número usado no exemplo de telefonia citado pelo Lathi, em que cada amostra de voz é codificada com $8$ bits.
Taxa de bits em PCM10.4
Na modulação por código de pulso, ou PCM, cada amostra quantizada é convertida em uma palavra binária. Se a taxa de amostragem é $f_s$ amostras por segundo e cada amostra usa $b$ bits, a taxa de bits é
$$ R_b=b f_s $$
Um sinal de voz é amostrado a $8000$ amostras/s e cada amostra é codificada com $8$ bits. Determine a taxa de bits.
Aplicamos
$$ R_b=b f_s $$
Assim,
$$ R_b=8\cdot 8000=64000\text{ bits/s} $$
Portanto,
$$ \boxed{R_b=64\text{ kbits/s}} $$
Esse valor aparece no Lathi como taxa típica de digitalização telefônica.
Um sinal limitado em faixa a $3$ kHz é amostrado a uma taxa $33\%$ maior que a taxa de Nyquist. O erro máximo de quantização aceitável é $0{,}5\%$ do valor de pico $V$. Determine a taxa de amostragem, o número de bits por amostra e a taxa de bits.
A taxa de Nyquist é
$$ f_{\text{Nyq}}=2\cdot 3000=6000\text{ Hz} $$
Como a taxa real é $33\%$ maior,
$$ f_s=6000\cdot \frac{4}{3}=8000\text{ Hz} $$
O erro máximo de quantização é $\Delta/2$. A condição dada é
$$ \frac{\Delta}{2}\le 0{,}005V $$
Como $\Delta=2V/L$,
$$ \frac{V}{L}\le 0{,}005V $$
Logo,
$$ L\ge 200 $$
Como usamos código binário, escolhemos a próxima potência de $2$:
$$ L=256=2^8 $$
Então são necessários $8$ bits por amostra. A taxa de bits é
$$ R_b=8\cdot 8000=64000\text{ bits/s} $$
Portanto, o sinal PCM resultante tem taxa de $64$ kbits/s.
Por que sinais digitais são robustos10.5
O Lathi destaca uma vantagem prática dos sinais digitais: eles podem ser regenerados. Em uma transmissão analógica, ruído e distorção se acumulam continuamente. Em uma transmissão digital, se o receptor ainda consegue decidir corretamente entre os símbolos, ele pode reconstruir pulsos limpos.
Essa é a função das repetidoras regenerativas. Elas detectam os pulsos recebidos e retransmitem pulsos novos, reduzindo o acúmulo progressivo de ruído.
O sinal digital também pode falhar se ruído e distorção ultrapassarem os limites de decisão. A vantagem é que, abaixo desses limites, é possível regenerar a sequência com alta confiabilidade.
O dual da amostragem no tempo10.6
Na aula anterior, vimos que amostrar no tempo cria repetições do espectro. O Lathi mostra agora o resultado dual: repetir um sinal no tempo cria amostras do espectro.
Se um sinal $x(t)$ é limitado no tempo a uma duração $\tau$, seu espectro $X(\omega)$ pode ser reconstruído a partir de amostras em frequência, desde que essas amostras sejam suficientemente próximas.
O teorema de amostragem espectral afirma que, para um sinal de duração $\tau$ segundos, o intervalo entre amostras do espectro deve ser menor que
$$ \frac{1}{\tau}\text{ Hz} $$
De forma equivalente, a taxa de amostragem espectral deve ser maior que $\tau$ amostras por Hz.
Um sinal é limitado no tempo a $\tau=2$ s. Qual deve ser o maior espaçamento permitido entre amostras de $X(\omega)$ em hertz?
Pelo teorema de amostragem espectral, o espaçamento deve ser menor que
$$ \frac{1}{\tau}=\frac{1}{2}=0{,}5\text{ Hz} $$
Portanto, as amostras de frequência devem estar espaçadas por menos de $0{,}5$ Hz para permitir reconstrução ideal do espectro.
A ponte para a TDF10.7
Um computador não calcula a Transformada de Fourier contínua inteira. Ele trabalha com uma quantidade finita de amostras no tempo e produz uma quantidade finita de amostras em frequência.
O problema da TDF nasce exatamente daí:
- temos amostras de $x(t)$;
- queremos amostras de $X(\omega)$;
- precisamos de uma relação algébrica finita entre essas duas listas.
O Lathi constrói essa relação usando os dois teoremas de amostragem. A ideia é amostrar o sinal no tempo e repetir periodicamente essa sequência. O espectro correspondente também fica amostrado e periódico.
Se temos $N_0$ amostras em um período, a TDF relaciona duas sequências periódicas de período $N_0$.
Definição da TDF10.8
A TDF direta é
$$ X_r=\sum_{n=0}^{N_0-1}x_n e^{-j\frac{2\pi}{N_0}rn} $$
para
$$ r=0,1,\ldots,N_0-1 $$
A TDF inversa é
$$ x_n=\frac{1}{N_0}\sum_{r=0}^{N_0-1}X_r e^{j\frac{2\pi}{N_0}rn} $$
para
$$ n=0,1,\ldots,N_0-1 $$
A TDF em si é exata para as sequências $x_n$ e $X_r$. A aproximação aparece quando interpretamos essas sequências como amostras de sinais contínuos e espectros contínuos.
A TDF não é “uma Fourier errada”. Ela é uma transformada exata entre duas sequências finitas e periódicas. O cuidado está em escolher amostragem, duração e resolução de forma coerente com o sinal contínuo que estamos tentando representar.
Escolha de $T$, $T_0$ e $N_0$10.9
Para usar a TDF como aproximação da Transformada de Fourier contínua, precisamos escolher três grandezas.
| Grandeza | Significado | Relação |
|---|---|---|
| $T$ | intervalo de amostragem no tempo | $T=1/f_s$ |
| $T_0$ | duração observada ou período efetivo | $f_0=1/T_0$ |
| $N_0$ | número de amostras | $N_0=T_0/T$ |
Se a largura de faixa essencial é $B$, escolhemos
$$ f_s\ge 2B $$
ou
$$ T\le \frac{1}{2B} $$
Se queremos resolução em frequência $f_0$, escolhemos
$$ T_0=\frac{1}{f_0} $$
Um sinal tem duração de $2$ ms e largura de faixa essencial de $10$ kHz. Deseja-se resolução em frequência de $100$ Hz. Determine um valor inicial para $N_0$.
Para obter resolução de $100$ Hz,
$$ T_0=\frac{1}{100}=0{,}01\text{ s}=10\text{ ms} $$
Como o sinal dura apenas $2$ ms, os $8$ ms restantes podem ser preenchidos com zeros.
A taxa mínima de amostragem é
$$ f_s=2B=2\cdot 10000=20000\text{ Hz} $$
Logo,
$$ T=\frac{1}{20000}=50\ \mu\text{s} $$
O número de amostras é
$$ N_0=\frac{T_0}{T}=\frac{10\text{ ms}}{50\ \mu\text{s}}=200 $$
Na prática, pode-se escolher $N_0=256$ para facilitar o uso da FFT, pois $256$ é potência de $2$.
Aliasing, vazamento e efeito de cerca10.10
O cálculo numérico de Fourier sempre envolve escolhas. O Lathi destaca três cuidados.
O primeiro é o aliasing. Se $T$ não é pequeno o suficiente, componentes de alta frequência contaminam as amostras calculadas do espectro.
O segundo é o vazamento. Quando truncamos um sinal para trabalhar com uma janela finita, o espectro se espalha. Esse efeito já apareceu na discussão de janelas da Transformada de Fourier.
O terceiro é o efeito de cerca de postes. A TDF mostra apenas amostras do espectro. Se um pico cair entre duas amostras, ele pode ficar escondido ou parecer menor do que realmente é.
Adicionar zeros aumenta a quantidade de amostras visualizadas do espectro, mas não corrige o erro causado por uma janela inadequada ou por amostragem temporal insuficiente.
Propriedades básicas da TDF10.11
As propriedades da TDF refletem propriedades da Transformada de Fourier, mas com uma diferença importante: as sequências são periódicas de período $N_0$.
| Propriedade | Forma conceitual | Cuidado |
|---|---|---|
| Linearidade | combinação no tempo vira combinação na frequência | igual à intuição de Fourier |
| Simetria de conjugado | sequência real gera espectro conjugado simétrico | basta calcular metade em muitos casos |
| Deslocamento no tempo | deslocamento circular gera fator de fase | o deslocamento é circular |
| Deslocamento na frequência | multiplicação por exponencial desloca o espectro | também circular |
| Convolução periódica | convolução circular corresponde a produto na TDF | não é automaticamente convolução linear |
Essa última diferença é especialmente importante. A TDF trabalha naturalmente com convolução circular. Para usar TDF em uma convolução linear, precisamos adicionar zeros suficientes para evitar sobreposição circular.
Aplicações da TDF10.12
O Lathi destaca três aplicações principais: cálculo numérico de Fourier, convolução e filtragem.
Na convolução linear, a ideia é transformar duas sequências, multiplicar suas TDFs e aplicar a TDF inversa. Para que o resultado circular coincida com o linear, adicionamos zeros até o tamanho necessário.
Na filtragem, calculamos a TDF de $x_n$, multiplicamos pelas amostras da resposta em frequência $H_r$, e depois aplicamos a TDF inversa.
Duas sequências têm comprimentos $N_1=5$ e $N_2=4$. Qual deve ser o tamanho mínimo da TDF para calcular a convolução linear usando multiplicação em frequência?
A convolução linear de duas sequências de comprimentos $N_1$ e $N_2$ tem comprimento
$$ N_1+N_2-1 $$
Logo,
$$ 5+4-1=8 $$
Portanto, o tamanho mínimo é $8$. As sequências devem ser preenchidas com zeros até esse tamanho antes de aplicar a TDF.
FFT: a mesma TDF com menos cálculo10.13
A FFT não é uma transformada diferente. Ela é um algoritmo eficiente para calcular a TDF.
O cálculo direto da TDF exige, em ordem de grandeza,
$$ N_0^2 $$
operações. A FFT reduz esse custo para ordem de
$$ N_0\log_2 N_0 $$
Essa redução é o que torna a análise espectral computacional viável para sequências grandes.
Compare a ordem de grandeza do número de operações para calcular uma TDF de $N_0=1024$ pontos diretamente e por FFT.
No cálculo direto, a ordem é
$$ N_0^2=1024^2=1.048.576 $$
Na FFT, a ordem é
$$ N_0\log_2N_0=1024\cdot 10=10.240 $$
O resultado numérico da FFT é o mesmo da TDF. A diferença está no número de operações necessárias para chegar a ele.
Como a FFT economiza operações10.14
O algoritmo clássico de Cooley-Tukey explora a decomposição da TDF em problemas menores. No caso de decimação no tempo, a sequência é dividida em amostras de índice par e de índice ímpar.
Depois, a TDF de $N_0$ pontos é montada a partir de duas TDFs de $N_0/2$ pontos. Esse processo continua até chegar a TDFs de um ponto.
Quando $N_0$ é potência de $2$, a divisão é especialmente simples. Por isso, muitos exemplos escolhem valores como $128$, $256$, $512$ ou $1024$.
Escolher $N_0$ como potência de $2$ não muda o sinal. Essa escolha facilita o cálculo pela FFT e costuma ser combinada com preenchimento nulo quando necessário.
O que esta aula organizou10.15
A primeira parte do Capítulo 8 explicou quando as amostras preservam o sinal. Esta segunda parte mostra o que fazemos com elas. A conversão A/D transforma amostras em bits. A amostragem espectral mostra a simetria entre tempo e frequência. A TDF dá uma relação finita entre amostras no tempo e em frequência. A FFT torna essa relação computacionalmente eficiente.
O ponto mais importante é separar os níveis de aproximação. A TDF é exata para sequências finitas periódicas. A aproximação aparece quando usamos essas sequências para representar sinais contínuos, limitados por janela, taxa de amostragem e resolução em frequência.
Questões10.16
1. Explique por que a amostragem de um sinal analógico não basta para torná-lo digital.
2. Defina quantização e explique o papel de $\Delta$.
3. Um conversor usa $L=1024$ níveis. Quantos bits são necessários por amostra?
4. Um sinal é amostrado a $44{,}1$ kHz com $16$ bits por amostra. Determine a taxa de bits de um canal.
5. Um sinal limitado a $4$ kHz é amostrado a $25\%$ acima da taxa de Nyquist. Determine $f_s$.
6. Explique por que sinais digitais podem ser transmitidos por longas distâncias com maior confiabilidade que sinais analógicos.
7. Enuncie o teorema de amostragem espectral em palavras.
8. Um sinal limitado no tempo tem duração $\tau=5$ ms. Qual deve ser o maior espaçamento entre amostras de seu espectro em Hz?
9. Escreva as fórmulas da TDF direta e inversa.
10. Explique por que a TDF é exata para sequências, mas pode ser apenas uma aproximação da Transformada de Fourier contínua.
11. Um sinal tem largura de faixa essencial $B=20$ kHz. Qual é o maior intervalo de amostragem $T$ recomendado pelo critério de Nyquist?
12. Deseja-se resolução em frequência de $50$ Hz. Qual deve ser o valor de $T_0$?
13. Duas sequências têm comprimentos $N_1=8$ e $N_2=6$. Qual deve ser o tamanho mínimo para calcular convolução linear por TDF?
14. O que é preenchimento nulo e o que ele não consegue corrigir?
15. Compare TDF direta e FFT. Elas produzem resultados diferentes?
16. Para $N_0=256$, compare $N_0^2$ com $N_0\log_2N_0$.
17. Marque V ou F.
- ( ) Quantizar é arredondar a amplitude para um conjunto finito de níveis.
- ( ) A taxa de bits PCM é dada por $R_b=b f_s$.
- ( ) A TDF trabalha naturalmente com sequências não periódicas infinitas.
- ( ) A FFT é um algoritmo para calcular a TDF com menos operações.
1. Porque a amostragem discretiza o tempo, mas a amplitude ainda pode assumir infinitos valores. Para digitalizar, é necessário quantizar e codificar.
2. Quantização é o arredondamento da amplitude para um dos níveis permitidos. $\Delta$ é o espaçamento entre níveis.
3. Como $1024=2^{10}$, são necessários $10$ bits por amostra.
4. $R_b=16\cdot 44100=705600$ bits/s, ou aproximadamente $705{,}6$ kbits/s.
5. A taxa de Nyquist é $8$ kHz. Com $25\%$ acima, $f_s=10$ kHz.
6. Porque os pulsos digitais podem ser detectados e regenerados, desde que ruído e distorção permaneçam dentro dos limites de decisão.
7. Um sinal limitado no tempo permite reconstruir seu espectro a partir de amostras em frequência suficientemente próximas.
8. $1/\tau=1/0{,}005=200$ Hz. O espaçamento deve ser menor que $200$ Hz.
9.
$$ X_r=\sum_{n=0}^{N_0-1}x_n e^{-j\frac{2\pi}{N_0}rn} $$
e
$$ x_n=\frac{1}{N_0}\sum_{r=0}^{N_0-1}X_r e^{j\frac{2\pi}{N_0}rn} $$
10. Porque a TDF transforma exatamente uma sequência finita periódica em outra. A aproximação surge ao interpretar essa sequência como amostras de um sinal contínuo truncado e amostrado.
11. $T\le 1/(2B)=1/40000=25\ \mu\text{s}$.
12. $T_0=1/f_0=1/50=0{,}02$ s.
13. $N_1+N_2-1=8+6-1=13$.
14. Preenchimento nulo é adicionar amostras de valor zero para aumentar o número de pontos da TDF. Ele não corrige aliasing temporal nem o erro causado por truncagem inadequada.
15. Não. A FFT calcula a mesma TDF, mas com menos operações.
16. $N_0^2=256^2=65536$. Como $\log_2 256=8$, $N_0\log_2N_0=256\cdot 8=2048$.
17. V, V, F, V.
Próximos passos10.17
A partir daqui, a disciplina pode avançar para sinais e sistemas em tempo discreto com mais segurança. A conexão construída no Capítulo 8 mostra por que sequências discretas não são apenas uma abstração matemática, mas uma forma operacional de representar, processar e analisar sinais contínuos amostrados.